Номер 8.16, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.16. Докажите, что сторона треугольника, лежащая против угла $30^\circ$, равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

8.16. Докажите, что сторона треугольника, лежащая против угла $30^\circ$, равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Эта теорема устанавливает связь между сторонами треугольника, синусами противолежащих им углов и радиусом $R$ описанной около этого треугольника окружности.

Теорема синусов гласит, что для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно, выполняется следующее соотношение:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

Рассмотрим произвольный треугольник, в котором один из углов равен $30^\circ$. Пусть это будет угол $\alpha$, то есть $\alpha = 30^\circ$. Сторона, лежащая напротив этого угла, будет стороной $a$.

Согласно теореме синусов, для этой стороны и угла справедливо равенство:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Подставим в это равенство известное значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$ \frac{a}{\sin 30^\circ} = 2R $

Значение синуса $30^\circ$ является хорошо известной тригонометрической константой:

$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

$ \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2R $

Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель дроби в левой части на 2, или, что то же самое, умножив $a$ на 2:

$ 2a = 2R $

Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение:

$ a = R $

Таким образом, мы доказали, что сторона треугольника, лежащая против угла в $30^\circ$, равна радиусу окружности, описанной около этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сторона треугольника, лежащая против угла в $30^\circ$, равна радиусу описанной окружности ($a=R$).