Номер 8.19, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.19. Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если $\angle ABC = 80^{\circ}$.

8.19. Биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $D$. Найдите углы треугольника $ADC$, если $\angle ABC = 80^{\circ}$.

Поскольку окружность описана около треугольника $ABC$, а точка $D$ лежит на этой окружности, то четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

Свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Таким образом, мы можем найти угол $\angle ADC$:

$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$

Из условия известно, что $\angle ABC = 80^{\circ}$, следовательно:

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.

Теперь найдем остальные углы треугольника $ADC$: $\angle DAC$ и $\angle ACD$.

По условию, $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны между собой.

Углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ являются вписанными и опираются на дугу $DC$. Следовательно, они равны:

$\angle DAC = \angle DBC = 40^{\circ}$.

Аналогично, вписанные углы $\angle ACD$ и $\angle ABD$ опираются на дугу $AD$. Следовательно, они также равны:

$\angle ACD = \angle ABD = 40^{\circ}$.

Таким образом, мы нашли все углы треугольника $ADC$: $\angle ADC = 100^{\circ}$, $\angle DAC = 40^{\circ}$ и $\angle ACD = 40^{\circ}$.

Ответ: углы треугольника $ADC$ равны $100^{\circ}, 40^{\circ}, 40^{\circ}$.