Номер 7.44, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.44. Из точек $C$ и $D$, принадлежащих биссектрисе угла $AOB$, на стороны угла опущены перпендикуляры $CA$ и $DB$. Точка $K$ — середина отрезка $CD$. Докажите, что $KA = KB$.

7.44. Из точек $C$ и $D$, принадлежащих биссектрисе угла $AOB$, на стороны угла опущены перпендикуляры $CA$ и $DB$. Точка $K$ — середина отрезка $CD$. Докажите, что $KA = KB$.

Решение:

Пусть $OL$ — биссектриса угла $\angle AOB$. Точки $C$, $D$ и $K$ лежат на этой биссектрисе. Обозначим половину угла $\angle AOB$ как $\alpha$, то есть $\angle AOL = \angle BOL = \alpha$.

По условию задачи, из точек $C$ и $D$ опущены перпендикуляры $CA$ на сторону $OA$ и $DB$ на сторону $OB$. Это означает, что треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle ODB$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$ соответственно ($\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBD = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. Поскольку точка $C$ лежит на биссектрисе, угол $\angle AOC = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем: $OA = OC \cdot \cos(\alpha)$.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODB$. Угол $\angle BOD = \alpha$. Отсюда: $OB = OD \cdot \cos(\alpha)$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAK$ и применим к нему теорему косинусов для нахождения квадрата стороны $KA$. Угол $\angle AOK$ равен $\alpha$. $KA^2 = OK^2 + OA^2 - 2 \cdot OK \cdot OA \cdot \cos(\angle AOK)$. Подставив выражение для $OA$, получим: $KA^2 = OK^2 + (OC \cdot \cos(\alpha))^2 - 2 \cdot OK \cdot (OC \cdot \cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)$ $KA^2 = OK^2 + OC^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OK \cdot OC \cdot \cos^2(\alpha)$.

Точно так же применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle OBK$, чтобы найти квадрат стороны $KB$. Угол $\angle BOK$ равен $\alpha$. $KB^2 = OK^2 + OB^2 - 2 \cdot OK \cdot OB \cdot \cos(\angle BOK)$. Подставив выражение для $OB$, получим: $KB^2 = OK^2 + (OD \cdot \cos(\alpha))^2 - 2 \cdot OK \cdot (OD \cdot \cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)$ $KB^2 = OK^2 + OD^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OK \cdot OD \cdot \cos^2(\alpha)$.

По условию, точка $K$ — середина отрезка $CD$. Это означает, что $OK = \frac{OC + OD}{2}$ (если точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $O$) или $OK = \frac{|OD - OC|}{2}$ (если $O$ лежит между $C$ и $D$). Для простоты будем использовать длины отрезков, положив $c=OC$ и $d=OD$, тогда $OK = \frac{c+d}{2}$. Подставим это в выражение для $KA^2$: $KA^2 = \left(\frac{c+d}{2}\right)^2 + c^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot \left(\frac{c+d}{2}\right) \cdot c \cdot \cos^2(\alpha)$ $KA^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + c^2 \cos^2(\alpha) - (c+d)c \cos^2(\alpha)$ $KA^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + c^2 \cos^2(\alpha) - c^2 \cos^2(\alpha) - cd \cos^2(\alpha)$ $KA^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} - cd \cos^2(\alpha)$.

Теперь подставим $OK = \frac{c+d}{2}$ в выражение для $KB^2$: $KB^2 = \left(\frac{c+d}{2}\right)^2 + d^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot \left(\frac{c+d}{2}\right) \cdot d \cdot \cos^2(\alpha)$ $KB^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + d^2 \cos^2(\alpha) - (c+d)d \cos^2(\alpha)$ $KB^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} + d^2 \cos^2(\alpha) - cd \cos^2(\alpha) - d^2 \cos^2(\alpha)$ $KB^2 = \frac{c^2+2cd+d^2}{4} - cd \cos^2(\alpha)$.

Мы получили, что выражения для $KA^2$ и $KB^2$ идентичны. Следовательно, $KA^2 = KB^2$, а так как длины отрезков являются положительными величинами, то $KA = KB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.