Номер 7.40, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.40. В трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ $AB = BC = \frac{1}{2} AD$. Найдите угол $ACD$.

7.40. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = BC = \frac{1}{2}AD$. Найдите угол $ACD$.

Пусть в трапеции $ABCD$ дано, что $AD \parallel BC$ и $AB = BC = \frac{1}{2}AD$.

Обозначим длину $BC$ за $a$. Тогда из условия следует, что $AB = a$ и $AD = 2a$.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. В нем стороны $AE$ и $BC$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Стороны $AB$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, четырехугольник $ABCE$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

$AE = BC = a$

$CE = AB = a$

Точка $E$ лежит на основании $AD$. Найдем длину отрезка $ED$:

$ED = AD - AE = 2a - a = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с точкой $E$ на противоположной стороне $AD$.

Так как $AE = a$ и $ED = a$, точка $E$ является серединой стороны $AD$.

Следовательно, отрезок $CE$ является медианой треугольника $ACD$.

Длина этой медианы $CE = a$. Длина стороны $AD$, к которой проведена медиана, равна $2a$.

Таким образом, мы получили, что медиана $CE$ равна половине стороны $AD$, к которой она проведена: $CE = \frac{1}{2}AD$.

По свойству прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, является прямым.

В треугольнике $ACD$ медиана $CE$ проведена к стороне $AD$, а противолежащий этой стороне угол — это $\angle ACD$.

Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.