Номер 7.34, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.34. Средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований. Докажите, что диагонали этой трапеции перпендикулярны.

7.34. Средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований. Докажите, что диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ является средней линией трапеции. Пусть $K$ и $L$ — середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно.

По условию задачи, длина средней линии $MN$ равна длине отрезка $KL$: $MN = KL$.

Требуется доказать, что диагонали трапеции $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем радиус-векторы вершин трапеции $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$ относительно произвольного начала координат. Тогда радиус-векторы середин соответствующих отрезков выражаются следующим образом:

Середина $AB$: $ \vec{M} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} $
Середина $CD$: $ \vec{N} = \frac{\vec{C}+\vec{D}}{2} $
Середина $BC$: $ \vec{K} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} $
Середина $AD$: $ \vec{L} = \frac{\vec{A}+\vec{D}}{2} $

Теперь выразим векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$ через векторы вершин:

$ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{C}+\vec{D}}{2} - \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}) $

$ \vec{KL} = \vec{L} - \vec{K} = \frac{\vec{A}+\vec{D}}{2} - \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{A}+\vec{D}-\vec{B}-\vec{C}) $

Представим эти векторы через векторы диагоналей трапеции $\vec{AC} = \vec{C}-\vec{A}$ и $\vec{BD} = \vec{D}-\vec{B}$. Для этого перегруппируем слагаемые в скобках:

$ \vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{C}-\vec{A}) + (\vec{D}-\vec{B})) = \frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{BD}) $

$ \vec{KL} = \frac{1}{2}((\vec{D}-\vec{B}) + (\vec{A}-\vec{C})) = \frac{1}{2}(\vec{BD}-\vec{AC}) $

Из условия задачи $MN = KL$ следует, что модули векторов $\vec{MN}$ и $\vec{KL}$ равны: $|\vec{MN}| = |\vec{KL}|$.

$ |\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{BD})| = |\frac{1}{2}(\vec{BD}-\vec{AC})| $

$ |\vec{AC}+\vec{BD}| = |\vec{BD}-\vec{AC}| $

Возведем обе части этого равенства в квадрат. Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$ |\vec{AC}+\vec{BD}|^2 = |\vec{BD}-\vec{AC}|^2 $

$ (\vec{AC}+\vec{BD}) \cdot (\vec{AC}+\vec{BD}) = (\vec{BD}-\vec{AC}) \cdot (\vec{BD}-\vec{AC}) $

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$ |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{BD}) + |\vec{BD}|^2 = |\vec{BD}|^2 - 2(\vec{BD} \cdot \vec{AC}) + |\vec{AC}|^2 $

Сократим одинаковые члены $|\vec{AC}|^2$ и $|\vec{BD}|^2$ в обеих частях равенства:

$ 2(\vec{AC} \cdot \vec{BD}) = -2(\vec{BD} \cdot \vec{AC}) $

$ 4(\vec{AC} \cdot \vec{BD}) = 0 $

$ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0 $

Равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Таким образом, векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны, а значит, и сами диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.