Номер 7.28, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.28. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

7.28. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Обозначим длины оснований как $AD = b$ и $BC = a$. Пусть $h$ — высота трапеции, а $m$ — её средняя линия.

По определению, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $m = \frac{a+b}{2}$. Согласно условию задачи, высота трапеции равна её средней линии, то есть $h = m = \frac{a+b}{2}$. Требуется доказать, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. В нём стороны $BC$ и $DE$ параллельны ($BC \parallel AD$), а стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — это параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC = a$ и $CE = BD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, её диагонали равны: $AC = BD$. Учитывая, что $CE = BD$, получаем, что $AC = CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ является равнобедренным.

Проведём в равнобедренном треугольнике $ACE$ высоту $CH$ к основанию $AE$. Эта высота совпадает с высотой трапеции $ABCD$ ($CH = h$), и по свойству равнобедренного треугольника она также является медианой.

Длина основания $AE$ треугольника $ACE$ равна $AE = AD + DE = b + a$. Длина медианы $CH$ равна высоте $h$, которая по условию равна $h = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, в треугольнике $ACE$ медиана $CH$ равна половине стороны $AE$, к которой она проведена: $CH = \frac{AE}{2}$.

Согласно свойству, если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным, а угол, противолежащий этой стороне — прямым. Следовательно, треугольник $ACE$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ACE = 90^\circ$.

Так как по построению $CE \parallel BD$, то угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен углу $\angle ACE$. Поскольку $\angle ACE = 90^\circ$, то и диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.