Номер 7.33, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.33. Длина высоты $AB$ прямоугольной трапеции $ABCD$ равна сумме длин оснований $AD$ и $BC$. Докажите, что биссектриса угла $ABC$ делит сторону $CD$ пополам.

7.33. Длина высоты $AB$ прямоугольной трапеции $ABCD$ равна сумме длин оснований $AD$ и $BC$. Докажите, что биссектриса угла $\angle ABC$ делит сторону $CD$ пополам.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По условию, $AB$ является высотой, следовательно, сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Это означает, что углы при вершинах $A$ и $B$ прямые: $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Также по условию задачи дано, что длина высоты $AB$ равна сумме длин оснований $AD$ и $BC$: $AB = AD + BC$.

Требуется доказать, что биссектриса угла $\angle ABC$ делит боковую сторону $CD$ пополам.

Для доказательства воспользуемся методом, в котором мы предположим, что утверждение верно, и докажем эквивалентное свойство. Пусть точка $M$ является серединой стороны $CD$. Нам достаточно доказать, что луч $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Если это так, то биссектриса угла $\angle ABC$ действительно проходит через середину $CD$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $M$ (середину $CD$) отрезок $MN$, параллельный основаниям $AD$ и $BC$, где точка $N$ лежит на стороне $AB$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$.
2. По свойству средней линии трапеции, точка $N$ является серединой боковой стороны $AB$, а длина средней линии равна полусумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.
3. Поскольку $N$ — середина $AB$, то длина отрезка $NB$ равна половине длины стороны $AB$: $NB = \frac{AB}{2}$.
4. Используем данное в условии равенство $AB = AD + BC$ и подставим его в формулу для $NB$: $NB = \frac{AD + BC}{2}$.
5. Сравнивая выражения для длин $MN$ и $NB$, мы видим, что они равны: $MN = NB$.
6. Рассмотрим треугольник $\triangle MNB$. Так как две его стороны равны ($MN = NB$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: $\angle NMB = \angle NBM$.
7. Так как $MN$ — средняя линия, она параллельна основанию $BC$ ($MN \parallel BC$). Прямая $BM$ является секущей для этих параллельных прямых. Отсюда следует, что накрест лежащие углы $\angle NMB$ и $\angle CBM$ равны: $\angle NMB = \angle CBM$.
8. Из двух последних равенств ($\angle NMB = \angle NBM$ и $\angle NMB = \angle CBM$) следует, что: $\angle NBM = \angle CBM$.
9. Точка $N$ лежит на отрезке $AB$, поэтому луч $BN$ совпадает с лучом $BA$, и угол $\angle NBM$ — это тот же угол, что и $\angle ABM$. Таким образом, мы получаем, что $\angle ABM = \angle CBM$.

Равенство $\angle ABM = \angle CBM$ означает, что луч $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Так как мы исходили из того, что $M$ — середина стороны $CD$, мы доказали, что прямая, соединяющая вершину $B$ с серединой стороны $CD$, является биссектрисой угла $\angle ABC$. Следовательно, биссектриса угла $\angle ABC$ делит сторону $CD$ пополам.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.