Номер 7.38, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.38. Сумма углов при большем основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности.

7.38. Сумма углов при большем основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. Пусть $M$ — середина $BC$, а $N$ — середина $AD$. По условию задачи, сумма углов при большем основании $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна половине разности оснований, то есть $MN = \frac{AD - BC}{2}$.

Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. В образовавшемся треугольнике $APD$ углы при основании $AD$ равны углам трапеции $\angle A$ и $\angle D$. Сумма углов в треугольнике $APD$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $P$ будет равен:

$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $APD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ ($\triangle PBC \sim \triangle PAD$). Это означает, что $\triangle PBC$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$.

В прямоугольном треугольнике $APD$ отрезок $PN$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AD$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, она равна половине гипотенузы:

$PN = \frac{AD}{2}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $PBC$ отрезок $PM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$. Его длина равна:

$PM = \frac{BC}{2}$

Поскольку треугольники подобны и медианы $PM$ и $PN$ проведены из общей вершины $P$ к соответственным сторонам $BC$ и $AD$, точки $P$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Тогда длина отрезка $MN$ может быть найдена как разность длин отрезков $PN$ и $PM$:

$MN = PN - PM = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD - BC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен половине их разности: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.