Номер 7.41, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.41. В трапеции $ABCD$ диагонали перпендикулярны. На большем основании $AD$ отметили точку $M$ так, что $BM = MD = 3$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

7.41. В трапеции ABCD диагонали перпендикулярны. На большем основании AD отметили точку M так, что $BM = MD = 3$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ является большим основанием. По условию, диагонали трапеции перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. На основании $AD$ отмечена точка $M$ таким образом, что $BM = MD = 3$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим её $L$, вычисляется по формуле: $L = \frac{AD + BC}{2}$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную диагонали $AC$, до пересечения с прямой, содержащей основание $AD$, в точке $F$. Точка $F$ будет лежать на продолжении отрезка $AD$ за точку $A$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABCF$. В нем стороны $BC$ и $FA$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых ($BC || AD$). Стороны $BF$ и $AC$ параллельны по построению. Следовательно, четырехугольник $ABCF$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $AF = BC$.

Теперь рассмотрим отрезок $FD$. Его длина равна сумме длин отрезков $FA$ и $AD$: $FD = FA + AD$. Подставив $AF = BC$, получим $FD = BC + AD$. Таким образом, длина средней линии трапеции равна половине длины отрезка $FD$: $L = \frac{AD + BC}{2} = \frac{FD}{2}$.

Далее рассмотрим треугольник $FBD$. По условию задачи диагонали трапеции $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Так как по построению $BF || AC$, то и $BF \perp BD$. Это означает, что треугольник $FBD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Точка $M$ по условию лежит на основании $AD$, которое является частью гипотенузы $FD$ прямоугольного треугольника $FBD$. Также по условию $BM = MD$, из чего следует, что треугольник $BDM$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $BDM$ углы при основании $BD$ равны: $\angle MBD = \angle MDB$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $FBD$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle BFD + \angle FDB = 90^\circ$. Так как $\angle FDB = \alpha$, то отсюда следует, что $\angle BFD = 90^\circ - \alpha$.

Теперь найдем угол $\angle FBM$. Он является частью прямого угла $\angle FBD$. $\angle FBM = \angle FBD - \angle MBD = 90^\circ - \alpha$.

Рассмотрим треугольник $FBM$. В нем два угла, $\angle BFM$ (тот же угол, что и $\angle BFD$) и $\angle FBM$, оказались равны: $\angle BFM = \angle FBM = 90^\circ - \alpha$. Это свойство равнобедренного треугольника, значит, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $FM = BM$.

Из условия задачи нам дано, что $BM = MD = 3$ см. Сопоставляя это с полученным равенством $FM = BM$, мы приходим к выводу, что $FM = MD = 3$ см.

Равенство $FM = MD$ означает, что точка $M$ является серединой гипотенузы $FD$. Длина гипотенузы $FD$ равна $FM + MD = 3 + 3 = 6$ см.

Средняя линия трапеции $L$ равна половине длины отрезка $FD$.

$L = \frac{FD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.