Номер 7.42, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.42. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ равна сумме оснований $BC$ и $AD$. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобокая.

7.42. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ равна сумме оснований $BC$ и $AD$. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобокая.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию задачи, диагональ $AC$ равна сумме оснований, то есть $AC = BC + AD$, а угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Необходимо доказать, что трапеция $ABCD$ является равнобокой.

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В этом четырехугольнике:

• $BC \parallel DE$, так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, а точка $E$ лежит на продолжении $AD$.
• $CE \parallel BD$ по построению.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $BCED$ попарно параллельны, он является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны:

$CE = BD$ и $DE = BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Найдем длины его сторон:

• Сторона $AE$ является суммой отрезков $AD$ и $DE$. Так как $DE = BC$, то $AE = AD + BC$.
• Сторона $AC$ по условию задачи также равна $AD + BC$.

Таким образом, в треугольнике $ACE$ две стороны равны: $AC = AE$. Это означает, что треугольник $ACE$ является равнобедренным с основанием $CE$.

По условию, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Так как мы построили $CE \parallel BD$, то угол между прямыми $AC$ и $CE$ также равен $60^\circ$. Следовательно, угол в треугольнике $ACE$ при вершине $C$, то есть $\angle ACE$, равен $60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $ACE$ ($AC=AE$) углы при основании $CE$ равны, то есть $\angle AEC = \angle ACE$. Поскольку $\angle ACE = 60^\circ$, то и $\angle AEC = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle CAE$:
$\angle CAE = 180^\circ - (\angle ACE + \angle AEC) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Все три угла треугольника $ACE$ равны $60^\circ$, следовательно, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AC = CE = AE$.

Из равенства $AC = CE$ и того факта, что $CE = BD$ (из свойств параллелограмма $BCED$), следует, что диагонали трапеции равны: $AC = BD$.

Трапеция, у которой диагонали равны, является равнобокой. Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобокой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Трапеция $ABCD$ является равнобокой.