Номер 7.43, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.43. Пусть $M$ — внутренняя точка равностороннего треугольника $ABC$. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам $MA$, $MB$ и $MC$, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?

7.43. Пусть $M$ — внутренняя точка равностороннего треугольника $ABC$. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам $MA$, $MB$ и $MC$, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?

Нет, такой треугольник существует не для любой внутренней точки M.

Рассмотрим случай, когда точка M находится очень близко к одной из вершин треугольника, например, к вершине A. Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна $a$.

Если точка M очень близка к вершине A, то длины отрезков MA, MB и MC будут приблизительно равны:

• $MA = \epsilon$, где $\epsilon$ — очень малое положительное число $(\epsilon \to 0)$.
• $MB \approx AB = a$.
• $MC \approx AC = a$.

Следовательно, нам нужно доказать или опровергнуть существование треугольника PQR, вписанного в треугольник ABC (то есть P лежит на AB, Q — на BC, R — на CA), стороны которого примерно равны $a$, $a$ и $\epsilon$.

Пусть стороны треугольника PQR равны $PQ$, $QR$ и $RP$. Присвоим им требуемые длины, например:

• $QR \approx a$
• $RP \approx a$
• $PQ \approx \epsilon$

Проанализируем эти условия:

1. Чтобы длина отрезка $QR$, соединяющего точки на сторонах BC и CA, была примерно равна стороне $a$, точки Q и R должны находиться очень близко к вершинам C и A соответственно. То есть, $Q \approx C$ и $R \approx A$.
2. Аналогично, чтобы длина отрезка $RP$, соединяющего точки на сторонах CA и AB, была примерно равна $a$, точки R и P должны находиться очень близко к вершинам A и B соответственно. То есть, $R \approx A$ и $P \approx B$.

Из этих двух условий следует, что для выполнения требований $QR \approx a$ и $RP \approx a$ необходимо, чтобы вершины искомого треугольника PQR были расположены следующим образом: $P \approx B$, $Q \approx C$ и $R \approx A$.

Теперь рассмотрим третье условие: $PQ \approx \epsilon$. Вершина P находится очень близко к B, а вершина Q — очень близко к C. Расстояние между такими точками P и Q будет приблизительно равно расстоянию между вершинами B и C, то есть $PQ \approx BC = a$.

Возникает противоречие: с одной стороны, длина стороны $PQ$ должна быть очень мала ($PQ \approx \epsilon \to 0$), а с другой стороны, из расположения точек P и Q следует, что её длина должна быть близка к $a$ ($PQ \approx a$).

Таким образом, если точка M находится достаточно близко к одной из вершин, треугольник с требуемыми свойствами не существует.

Ответ: Нет, не существует.