Номер 7.36, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.36. Постройте трапецию:

1) по основаниям и боковым сторонам;

2) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам;

3) по разности оснований, боковым сторонам и одной из диагоналей.

7.36. Постройте трапецию:

1) по основаниям и боковым сторонам;

2) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам;

3) по разности оснований, боковым сторонам и одной из диагоналей.

1) по основаниям и боковым сторонам

Пусть даны длины оснований $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$) и длины боковых сторон $c$ и $d$. Необходимо построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$.

Анализ:
Предположим, что искомая трапеция $ABCD$ построена. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с большим основанием $AD$ в точке $K$. Четырехугольник $ABCK$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны ($BC || AK$ как части оснований трапеции, $AB || CK$ по построению). Из свойств параллелограмма следует, что $CK = AB = c$ и $AK = BC = b$.
Рассмотрим отрезок $KD$ на основании $AD$. Его длина равна разности оснований: $KD = AD - AK = a - b$.
В результате мы получаем треугольник $CKD$, все три стороны которого известны: $CK=c$, $CD=d$ и $KD=a-b$. Построение этого треугольника является ключевым шагом для решения задачи.

Построение:

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AD$ длиной $a$.
2. На отрезке $AD$ от точки $A$ откладываем отрезок $AK$ длиной $b$. Оставшаяся часть отрезка, $KD$, будет иметь длину $a-b$.
3. Строим треугольник $CKD$ по трем сторонам: $KD = a-b$, $CK = c$ и $CD = d$. Для этого проводим окружность с центром в точке $K$ и радиусом $c$, и другую окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
4. Для нахождения вершины $B$ строим параллелограмм $ABCK$. Для этого можно провести через точку $C$ прямую, параллельную $AD$, и через точку $A$ прямую, параллельную $CK$. Точка пересечения этих прямых и будет вершиной $B$.
5. Соединяем последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство:
По построению, $BC || AD$, значит $ABCD$ — трапеция. $AD=a$. Из параллелограмма $ABCK$ следует, что $BC=AK=b$, а $AB=CK=c$. Длина стороны $CD$ равна $d$ по построению треугольника $CKD$. Таким образом, построенная трапеция имеет все заданные элементы.

Задача имеет решение, если можно построить треугольник $CKD$, то есть если для длин $c, d, a-b$ выполняется неравенство треугольника: $|c-d| < a-b < c+d$.

Ответ: Построение основано на построении вспомогательного треугольника со сторонами, равными одной из боковых сторон, второй боковой стороне и разности оснований.

2) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам

Пусть даны длина основания $a$, прилежащий к нему угол $\alpha$ и длины боковых сторон $c$ и $d$. Необходимо построить трапецию $ABCD$, у которой основание $AD=a$, боковая сторона $AB=c$, боковая сторона $CD=d$ и угол $\angle DAB = \alpha$.

Анализ:
Мы можем сразу построить три вершины трапеции: $A, D$ и $B$. Вершины $A$ и $D$ определяются длиной основания $a$. Положение вершины $B$ определяется длиной боковой стороны $AB=c$ и углом $\angle DAB = \alpha$. Четвертая вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна лежать на прямой, проходящей через точку $B$ параллельно основанию $AD$.
2. Она должна находиться на расстоянии $d$ от вершины $D$.

Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения прямой и окружности.

Построение:

1. Строим отрезок $AD$ длиной $a$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
3. На построенной стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AB$ длиной $c$.
4. Через точку $B$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
5. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$.
6. Точка (или точки) пересечения прямой $l$ и окружности является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A, B, C, D$.

Доказательство:
По построению $AD=a$, $\angle DAB = \alpha$, $AB=c$. Вершина $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AD$, следовательно $BC || AD$ и $ABCD$ — трапеция. Также $C$ лежит на окружности с центром в $D$ и радиусом $d$, следовательно $CD=d$. Все условия задачи выполнены.

Задача может иметь 0, 1 или 2 решения. Это зависит от возможности пересечения прямой $l$ и окружности. Расстояние от центра окружности $D$ до прямой $l$ равно высоте трапеции $h$, которую можно найти как $h = AB \cdot \sin(\angle DAB) = c \cdot \sin \alpha$. Для существования решения необходимо, чтобы радиус $d$ был не меньше этого расстояния: $d \ge c \cdot \sin \alpha$.

• Если $d < c \cdot \sin \alpha$, решений нет.
• Если $d = c \cdot \sin \alpha$, решение одно (трапеция будет прямоугольной с $\angle CDA = 90^\circ$).
• Если $d > c \cdot \sin \alpha$, решений два, так как окружность пересечет прямую в двух точках.

Ответ: Построение заключается в последовательном построении известных элементов (основание, угол, боковая сторона), после чего четвертая вершина находится как точка пересечения прямой, параллельной основанию, и окружности.

3) по разности оснований, боковым сторонам и одной из диагоналей

Пусть даны разность оснований $k = |a-b|$, длины боковых сторон $c$ и $d$, и длина одной из диагоналей (либо $d_1=AC$, либо $d_2=BD$).

Анализ:
Применим метод параллельного переноса. Предположим, трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a, BC=b$ ($a>b$, $k=a-b$) построена. Выполним параллельный перенос стороны $CD$ на вектор $\vec{CB}$. При этом точка $C$ перейдет в точку $B$, а точка $D$ — в некоторую точку $E$. Четырехугольник $BCDE$ будет параллелограммом, а значит $BE = CD = d$ и $BC = ED$. Точка $E$ окажется на прямой $AD$, так как $ED || BC || AD$. Длина отрезка $AE$ будет равна $AD - ED = AD - BC = a - b = k$.
Таким образом, мы получаем треугольник $ABE$, стороны которого нам известны: $AB=c$, $BE=d$ и $AE=k$. Мы можем построить этот треугольник. После этого дальнейшее построение зависит от того, какая диагональ дана.

Построение:
Сначала выполним общий для обоих случаев шаг:

1. Строим треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AE = k$ (разность оснований), $AB = c$ (первая боковая сторона), $BE = d$ (вторая боковая сторона).

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: Дана диагональ $AC = d_1$.

2. Через вершину $B$ проводим прямую $l$, параллельную стороне $AE$. На этой прямой будет лежать второе основание трапеции.
3. Из вершины $A$ проводим окружность радиусом $d_1$.
4. Точка пересечения прямой $l$ и окружности дает вершину $C$.
5. На луче $AE$ откладываем отрезок $ED$, равный отрезку $BC$. Получаем вершину $D$.
6. Соединяем точки $A, B, C, D$.

2. Из вершины $B$ проводим окружность радиусом $d_2$.
3. Точка пересечения этой окружности с прямой, содержащей отрезок $AE$, дает вершину $D$. (Из двух возможных точек пересечения выбираем ту, для которой точка $E$ лежит между $A$ и $D$).
4. Для нахождения вершины $C$ строим параллелограмм $BCDE$. Для этого проводим через $D$ прямую, параллельную $BE$, и через $B$ прямую, параллельную $ED$. Точка их пересечения есть $C$.
5. Соединяем точки $A, B, C, D$.

Доказательство:
По построению $AB=c$. Четырехугольник $BCDE$ является параллелограммом, следовательно, $BC || AD$ и $CD = BE = d$. Разность оснований $AD-BC = (AE+ED)-BC = AE = k$. Диагональ ($AC$ или $BD$) строилась равной заданной длине. Таким образом, построенная трапеция удовлетворяет всем условиям.

Задача имеет решение, если:

1. Выполняется неравенство треугольника для сторон $c, d, k$: $|c-d| < k < c+d$, что позволяет построить $\triangle ABE$.
2. Существует точка пересечения соответствующей прямой и окружности при нахождении третьей вершины, что накладывает ограничения на длину диагонали.

Ответ: Построение сводится к построению вспомогательного треугольника со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности ее оснований. Затем, используя данную диагональ, находятся остальные вершины трапеции.