Номер 7.29, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.29. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной $a$. Найдите среднюю линию трапеции.

7.29. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной $a$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Таким образом, $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, какая диагональ имеется в виду.

Случай 1: Диагональ AC.

Диагональ $AC$ разбивает трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$.

Треугольник $\triangle ABC$ не может быть равносторонним, так как у него есть прямой угол $\angle B = 90^\circ$, а все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Следовательно, равносторонним является треугольник $\triangle ACD$. Это означает, что все его стороны равны $a$, и все углы равны $60^\circ$.

$AD = CD = AC = a$.

$\angle CAD = \angle ADC = \angle DCA = 60^\circ$.

Одно из оснований трапеции, $AD$, равно $a$.

Рассмотрим угол $\angle DAB$ трапеции. Он равен $90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAB$ и $\angle CAD$.

$\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). В нем гипотенуза $AC = a$ и угол $\angle CAB = 30^\circ$. Катет $BC$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

$BC = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

$BC$ является вторым основанием трапеции. Итак, основания трапеции равны $a$ и $\frac{a}{2}$.

Случай 2: Диагональ BD.

Диагональ $BD$ разбивает трапецию на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Треугольник $\triangle ABD$ не может быть равносторонним, так как у него есть прямой угол $\angle A = 90^\circ$.

Следовательно, равносторонним является треугольник $\triangle BCD$.

$BC = CD = BD = a$.

$\angle CBD = \angle BDC = \angle BCD = 60^\circ$.

Одно из оснований трапеции, $BC$, равно $a$.

Рассмотрим угол $\angle ABC$ трапеции. Он равен $90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle A = 90^\circ$). В нем гипотенуза $BD = a$ и угол $\angle ABD = 30^\circ$. Катет $AD$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

$AD = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

$AD$ является вторым основанием трапеции. И в этом случае основания трапеции равны $a$ и $\frac{a}{2}$.

Нахождение средней линии.

В обоих случаях мы получили, что основания трапеции равны $a$ и $\frac{a}{2}$. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Пусть $m$ — средняя линия трапеции.

$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} = \frac{\frac{2a+a}{2}}{2} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$.