Номер 7.22, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.22. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

7.22. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания ($BC \parallel AD$), а AB и CD — боковые стороны.
По условию задачи:
1. Трапеция равнобокая, следовательно, $AB = CD$ и углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.
2. Диагональ перпендикулярна боковой стороне. Пусть диагональ AC перпендикулярна стороне CD, тогда $\angle ACD = 90^\circ$.
3. Меньшее основание равно боковой стороне. Пусть BC — меньшее основание, тогда $BC = CD$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как $AB = CD$ (из свойства равнобокой трапеции) и $BC = CD$ (по условию), то $AB = BC$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Следовательно, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей AC, а значит, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle BAC = \angle CAD$. Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle BAC = \alpha$, а весь угол при большем основании, $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Поскольку трапеция равнобокая, $\angle D = \angle A = 2\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD ($\angle ACD = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:
$\angle CAD + \angle D = 90^\circ$
Подставим выражения для углов через $\alpha$:
$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$

Теперь найдем углы трапеции:
Углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Углы при меньшем основании: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Проверим угол C: $\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$. Мы знаем, что $\angle BCA = \alpha = 30^\circ$, а $\angle ACD = 90^\circ$. Тогда $\angle C = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. Все верно.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$.