Номер 7.20, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.20. Стороны трапеции равны $a$, $a$, $a$ и $2a$. Найдите углы трапеции.

7.20. Стороны трапеции равны $a, a, a$ и $2a$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$. В трапеции есть две параллельные стороны (основания) и две непараллельные (боковые стороны). Основания трапеции не могут быть равны, иначе это был бы параллелограмм, у которого все стороны были бы равны $a$, что противоречит наличию стороны $2a$. Следовательно, основаниями являются стороны с длинами $a$ и $2a$, а боковые стороны равны $a$.

Так как боковые стороны равны ($a=a$), трапеция является равнобедренной.

Пусть меньшее основание $BC = a$, большее основание $AD = 2a$, а боковые стороны $AB = CD = a$.

Для нахождения углов проведем дополнительное построение. Из вершины $C$ проведем прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, где точка $E$ лежит на основании $AD$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABCE$. В нем $BC \parallel AE$ (так как $BC \parallel AD$) и $AB \parallel CE$ (по построению). Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

$AE = BC = a$

$CE = AB = a$

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Найдем длины его сторон:

• $CD = a$ (по условию).
• $CE = a$ (как сторона параллелограмма $ABCE$).
• $ED = AD - AE = 2a - a = a$.

Так как все стороны треугольника $CDE$ равны $a$ ($CD=CE=ED=a$), то он является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Таким образом, $\angle D = 60^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при ее основаниях равны:

$\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (или $\angle C = \angle B = 120^\circ$, так как трапеция равнобедренная).

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.