Номер 7.18, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.18. Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

7.18. Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, следовательно, $AB = CD$.

Основания относятся как 2 : 5, то есть $BC : AD = 2 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда меньшее основание $BC = 2x$, а большее основание $AD = 5x$.

По условию, диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Пусть диагональ AC делит тупой угол BCD. Это означает, что $∠BCA = ∠ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC || AD$), углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими углами при секущей AC. Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$.

Из двух равенств ($∠BCA = ∠ACD$ и $∠BCA = ∠CAD$) следует, что $∠ACD = ∠CAD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Поскольку два его угла равны ($∠ACD = ∠CAD$), он является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $CD = AD$.

Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее большему основанию. Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), получаем $AB = CD = AD = 5x$.

Периметр трапеции P равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD$

Подставим выражения для сторон через $x$:

$P = 5x + 2x + 5x + 5x$

$P = 17x$

По условию задачи, периметр равен 68 см. Составим и решим уравнение:

$17x = 68$

$x = \frac{68}{17}$

$x = 4$

Теперь найдем длины сторон трапеции:

Меньшее основание: $BC = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Большее основание: $AD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Боковые стороны: $AB = CD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Ответ: стороны трапеции равны 8 см, 20 см, 20 см и 20 см.