Номер 7.17, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.17. Высота равнобокой трапеции равна $h$, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом¹ 60°. Найдите диагональ трапеции.

7.17. Высота равнобокой трапеции равна $h$, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом$^1$ $60^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Обозначим равнобокую трапецию как $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Высота трапеции равна $h$.

По условию, боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом $60^\circ$. Это означает, что угол, образованный отрезками, соединяющими точку $O$ с концами боковой стороны (например, $CD$), равен $60^\circ$. Таким образом, $\angle COD = 60^\circ$.

Рассмотрим свойства равнобокой трапеции:

• Диагонали равны: $AC = BD$.
• Треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются равнобедренными. Так, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные. В $\triangle AOD$ стороны $AO = DO$, а в $\triangle BOC$ стороны $BO = CO$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle AOB = \angle COD = 60^\circ $.

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ также являются вертикальными и, следовательно, равными. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. $ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $. Соответственно, $ \angle AOD = \angle BOC = 120^\circ $.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOD$. Угол при вершине $\angle AOD = 120^\circ$. Углы при основании $AD$ равны: $ \angle OAD = \angle ODA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $.

Теперь проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Длина этой высоты по условию равна $h$, то есть $CH = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. В этом треугольнике:

• $CH = h$ — катет, противолежащий углу $\angle CAH$.
• $\angle CAH$ — это тот же угол, что и $\angle OAD$, то есть $\angle CAH = 30^\circ$.
• $AC$ — гипотенуза, которая является диагональю трапеции.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $ \sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC} $

Подставим известные значения: $ \sin(30^\circ) = \frac{h}{AC} $

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $ \frac{1}{2} = \frac{h}{AC} $

Отсюда выражаем длину диагонали $AC$: $ AC = 2h $

Ответ: $2h$.