Номер 7.21, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.21. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и является биссектрисой угла $BAD$, $\angle D = 60^{\circ}$, периметр трапеции равен $40$ см. Найдите основания трапеции.

7.21. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и является биссектрисой угла $BAD$, $\angle D = 60^\circ$, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, $ΔACD$ — прямоугольный, и $∠ACD = 90°$. Также по условию $∠D = 60°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому можем найти угол $CAD$:
$∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠D = 180° - 90° - 60° = 30°$.

2. По условию, $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Это означает, что $AC$ делит этот угол пополам:
$∠BAC = ∠CAD = 30°$.
Следовательно, весь угол $BAD$ равен:
$∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 30° = 60°$.

3. Так как в трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны ($∠BAD = 60°$ и $∠D = 60°$), то трапеция является равнобедренной. Отсюда следует, что её боковые стороны равны: $AB = CD$.

4. Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны. Рассмотрим их с секущей $AC$. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими, поэтому они равны:
$∠BCA = ∠CAD = 30°$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В нём два угла равны: $∠BAC = 30°$ и $∠BCA = 30°$. Следовательно, $ΔABC$ — равнобедренный, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AB = BC$.

6. Объединяя результаты пунктов 3 и 5, получаем:
$AB = CD$ и $AB = BC$, значит $AB = BC = CD$.

7. Обозначим длину этих равных сторон переменной $x$, то есть $AB = BC = CD = x$.
Вернемся к прямоугольному треугольнику $ACD$. Катет $CD$ лежит напротив угла $∠CAD = 30°$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. В $ΔACD$ гипотенузой является сторона $AD$.
$CD = \frac{1}{2}AD$
Отсюда $AD = 2 \cdot CD = 2x$.

8. Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон и по условию составляет 40 см.
$P = AB + BC + CD + AD = 40$
Подставим выражения для сторон через $x$:
$x + x + x + 2x = 40$
$5x = 40$
$x = \frac{40}{5} = 8$ см.

9. Теперь можем найти длины оснований трапеции:
Меньшее основание: $BC = x = 8$ см.
Большее основание: $AD = 2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 16 см.