Номер 7.26, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.26. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) биссектриса угла $ABC$ пересекает среднюю линию в точке $P$. Докажите, что $\angle APB = 90^\circ$.

7.26. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) биссектриса угла $ABC$ пересекает среднюю линию в точке $P$. Докажите, что $\angle APB = 90^\circ$.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По условию задачи, точка $P$ лежит на этой средней линии.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям. Следовательно, $MN \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $MN$ и $BC$ и секущую $BP$. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, равны. Таким образом, $\angle MPB = \angle PBC$.

Согласно условию, луч $BP$ является биссектрисой угла $ABC$. По определению биссектрисы, $\angle ABP = \angle PBC$.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем: $\angle MPB = \angle PBC$ и $\angle ABP = \angle PBC$. Отсюда следует, что $\angle MPB = \angle ABP$.

Теперь рассмотрим треугольник $MBP$. В этом треугольнике углы при стороне $BP$ равны (угол $\angle MBP$, который является тем же углом, что и $\angle ABP$, и угол $\angle MPB$). Следовательно, треугольник $MBP$ является равнобедренным с основанием $BP$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, значит, $MP = MB$.

Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по определению средней линии. Следовательно, $AM = MB$.

Из равенств $MP = MB$ и $AM = MB$ следует, что $AM = MB = MP$.

Рассмотрим треугольник $APB$. В этом треугольнике отрезок $PM$ соединяет вершину $P$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$. Таким образом, $PM$ является медианой треугольника $APB$. Мы установили, что длина этой медианы $PM$ равна половине длины стороны $AB$, к которой она проведена ($PM = MB = \frac{1}{2}AB$).

Согласно свойству треугольника, если медиана, проведённая к некоторой стороне, равна половине длины этой стороны, то треугольник является прямоугольным, а угол, противолежащий этой стороне, — прямой.

Таким образом, треугольник $APB$ — прямоугольный, и его угол при вершине $P$ является прямым: $\angle APB = 90^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: $\angle APB = 90^{\circ}$.