Номер 7.32, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.32. Докажите, что в трапеции разность боковых сторон меньше разности оснований.

7.32. Докажите, что в трапеции разность боковых сторон меньше разности оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Без ограничения общности будем считать, что $AD > BC$. Требуется доказать, что $|AB - CD| < AD - BC$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. Из вершины $C$ проведем отрезок $CK$, параллельный боковой стороне $AB$, так, чтобы точка $K$ принадлежала основанию $AD$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABCK$. По определению трапеции, $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AK$. По построению, $AB \parallel CK$. Следовательно, четырехугольник $ABCK$ является параллелограммом по определению (его противоположные стороны попарно параллельны).

3. Из свойств параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны. Таким образом, получаем:
$AB = CK$
$BC = AK$

4. Теперь рассмотрим треугольник $CKD$. Его стороны — это отрезки $CK$, $CD$ и $KD$. Длину стороны $KD$ можно выразить через длины оснований трапеции:
$KD = AD - AK$
Поскольку $AK = BC$, то $KD = AD - BC$.

5. Применим к треугольнику $CKD$ неравенство треугольника. Оно утверждает, что модуль разности длин двух любых сторон треугольника меньше длины третьей стороны. Для сторон $CK$ и $CD$ и стороны $KD$ это неравенство записывается так:
$|CK - CD| < KD$

6. Подставим в это неравенство выражения для $CK$ и $KD$, полученные в шагах 3 и 4:
$CK = AB$
$KD = AD - BC$
Получаем:
$|AB - CD| < AD - BC$

Таким образом, мы доказали, что в трапеции разность боковых сторон меньше разности оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.