Номер 7.35, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.35. Диагонали трапеции перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований.

7.35. Диагонали трапеции перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции. По определению, длина средней линии равна полусумме оснований:

$MN = \frac{AD + BC}{2}$

Пусть $K$ — середина основания $BC$, а $L$ — середина основания $AD$. Нам нужно доказать, что длина средней линии $MN$ равна длине отрезка $KL$. Для этого мы найдем выражение для длины $KL$ и сравним его с длиной $MN$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$. Отрезок $OK$ соединяет вершину прямого угла $O$ с серединой гипотенузы $BC$. Таким образом, $OK$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. Следовательно:

$OK = \frac{1}{2} BC$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOD$. Отрезок $OL$ соединяет вершину прямого угла $O$ с серединой гипотенузы $AD$. Таким образом, $OL$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

По тому же свойству медианы прямоугольного треугольника:

$OL = \frac{1}{2} AD$

В любой трапеции точка пересечения диагоналей ($O$) и середины оснований ($K$ и $L$) лежат на одной прямой. Докажем это. Так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны (по двум углам, например, $\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$ как накрест лежащие). Отрезки $OL$ и $OK$ — это медианы в этих подобных треугольниках, проведенные из общей вершины $O$ к соответствующим сторонам $AD$ и $BC$. В подобных треугольниках медианы, проведенные из соответствующих вершин, лежат на одной прямой. Следовательно, точки $K$, $O$ и $L$ коллинеарны.

Так как точка $O$ находится между основаниями, она лежит на отрезке $KL$. Поэтому длина отрезка $KL$ равна сумме длин отрезков $OK$ и $OL$:

$KL = OK + OL$

Подставим найденные выше выражения для $OK$ и $OL$:

$KL = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD = \frac{AD + BC}{2}$

Таким образом, мы получили, что длина отрезка, соединяющего середины оснований, $KL = \frac{AD + BC}{2}$.

Сравнивая это с выражением для длины средней линии $MN = \frac{AD + BC}{2}$, мы приходим к выводу, что они равны:

$MN = KL$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Было показано, что и средняя линия трапеции, и отрезок, соединяющий середины оснований, равны полусумме оснований, если диагонали трапеции перпендикулярны.