Номер 7.39, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.39. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, — 3 см. Углы при большем основании равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите основания трапеции.

7.39. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, — 3 см. Углы при большем основании равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$.

По условию, длина средней линии трапеции равна 5 см. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

$m = \frac{a+b}{2}$

$5 = \frac{a+b}{2}$

Отсюда получаем первое уравнение:

$a+b = 10$

Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Поскольку $BC \parallel AD$, треугольник $SBC$ подобен треугольнику $SAD$. Углы при большем основании трапеции равны $30^\circ$ и $60^\circ$, то есть $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SAD$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $S$:

$\angle S = 180^\circ - \angle A - \angle D = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $SAD$ является прямоугольным.

Пусть $P$ — середина основания $BC$, а $Q$ — середина основания $AD$. Отрезок, соединяющий середины оснований, по условию равен 3 см, то есть $PQ = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $SAD$ отрезок $SQ$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AD$. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$SQ = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$

Так как треугольник $SBC$ подобен треугольнику $SAD$, он также является прямоугольным ($\angle S = 90^\circ$). Отрезок $SP$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$.

$SP = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$

Точки $S$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой (медиане из вершины $S$). Следовательно, длина отрезка $PQ$ равна разности длин отрезков $SQ$ и $SP$.

$PQ = SQ - SP$

$3 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$a-b = 6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a+b=10 \\ a-b=6 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(a+b) + (a-b) = 10 + 6$

$2a = 16$

$a = 8$

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$8 + b = 10$

$b = 2$

Таким образом, длины оснований трапеции равны 8 см и 2 см.

Ответ: 8 см и 2 см.