Номер 7.37, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.37. Постройте трапецию:

1) по основаниям и диагоналям;

2) по боковым сторонам, средней линии и высоте;

3) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей.

7.37. Постройте трапецию:

1) по основаниям и диагоналям;

2) по боковым сторонам, средней линии и высоте;

3) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей.

Для решения задач на построение используются циркуль и линейка без делений.

Пусть даны отрезки, равные основаниям трапеции $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$), и диагоналям $d_1$ и $d_2$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и диагоналями $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Анализ. Предположим, что трапеция $ABCD$ построена. Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $K$. Четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом, так как $\vec{CK} = \vec{BD}$. Из этого следует, что $CK = BD = d_2$ и $DK = BC = b$. Поскольку $BC \parallel AD$, то и $DK \parallel AD$, а значит, точка $K$ лежит на прямой $AD$. Таким образом, точка $K$ находится на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, и длина отрезка $AK$ равна $AD + DK = a + b$.

В результате мы получаем треугольник $ACK$, все три стороны которого нам известны: $AC = d_1$, $CK = d_2$ и $AK = a+b$. Построив этот треугольник, мы сможем найти вершины трапеции.

Построение.

1. Строим на прямой отрезок $AK$, длина которого равна сумме длин оснований $a+b$.
2. Строим треугольник $ACK$ по трем сторонам: $AK = a+b$, $AC = d_1$, $CK = d_2$. Для этого строим две окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$, другую с центром в точке $K$ и радиусом $d_2$. Точка $C$ будет одной из точек пересечения этих окружностей.
3. На отрезке $AK$ откладываем отрезок $AD$, равный основанию $a$. Точка $D$ окажется между $A$ и $K$.
4. Теперь нужно найти четвертую вершину $B$. Так как $BCKD$ — параллелограмм, то вектор $\vec{CB}$ равен вектору $\vec{DK}$. Это означает, что отрезок $CB$ параллелен $AD$ и равен $b$. Проводим через точку $C$ прямую, параллельную $AK$, и откладываем на ней отрезок $CB=b$ в направлении, противоположном вектору $\vec{DK}$.
5. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученная трапеция $ABCD$ является искомой.

Доказательство. По построению $AD=a$, $BC=b$ и $BC \parallel AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция с заданными основаниями. Диагональ $AC=d_1$ по построению. Четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом, так как его стороны $BC$ и $DK$ параллельны ($BC \parallel AK$, $D,K \in AK$) и равны ($BC=b$, $DK=AK-AD=(a+b)-a=b$). Из этого следует, что $BD = CK = d_2$. Таким образом, диагонали построенной трапеции равны заданным.

Исследование. Задача имеет решение, если можно построить треугольник $ACK$. Это возможно тогда и только тогда, когда выполняются неравенства треугольника: $d_1+d_2 > a+b$, $d_1+a+b > d_2$ и $d_2+a+b > d_1$. Если эти условия выполнены, задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой $AK$).

Ответ: План построения: 1. Построить отрезок $AK$ длиной $a+b$. 2. Построить треугольник $ACK$ со сторонами $AC=d_1$, $CK=d_2$ и $AK=a+b$. 3. На отрезке $AK$ отложить $AD=a$. 4. Построить четвертую вершину $B$ так, чтобы четырехугольник $BCKD$ был параллелограммом.

Пусть даны отрезки, равные боковым сторонам $c$ и $d$, средней линии $m$ и высоте $h$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$, высотой $h$ и средней линией $m$.

Анализ. Предположим, что трапеция $ABCD$ построена ($AD \parallel BC$). Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $CD$, до пересечения с прямой $AD$ в точке $E$. Четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм, поэтому $BE=CD=d$ и $DE=BC$. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны равны $AB=c$, $BE=d$. Третья сторона $AE = AD - DE = AD - BC$. Высота треугольника $ABE$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AE$, равна высоте трапеции $h$.

Длина средней линии трапеции $m = \frac{AD+BC}{2}$, откуда $AD+BC = 2m$. Мы получили систему двух уравнений относительно длин оснований $AD$ и $BC$: $AD-BC = AE$ $AD+BC = 2m$ Решая эту систему, находим: $AD = m + \frac{AE}{2}$ и $BC = m - \frac{AE}{2}$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABE$ по двум сторонам ($c, d$) и высоте к третьей стороне ($h$), а затем, зная $AE$, мы можем найти длины оснований и завершить построение трапеции.

Построение.

1. Строим треугольник $ABE$ по двум сторонам $AB=c$, $BE=d$ и высоте $h$, опущенной из вершины $B$. Для этого:
   • Проводим прямую $l$ и на ней строим перпендикуляр. Откладываем на перпендикуляре высоту $h$, получая точку $B$ и ее проекцию $H$ на прямую $l$.
   • Из точки $B$ как из центра проводим окружность радиусом $c$. Точка ее пересечения с прямой $l$ будет вершиной $A$.
   • Из точки $B$ как из центра проводим окружность радиусом $d$. Точка ее пересечения с прямой $l$ будет вершиной $E$. (Существует два варианта расположения $A$ и $E$ относительно $H$, что может привести к двум разным решениям).
2. Построив треугольник $ABE$, мы имеем отрезок $AE$. Теперь находим длины оснований $a=AD$ и $b=BC$, используя формулы $a = m + \frac{AE}{2}$ и $b = m - \frac{AE}{2}$. Это стандартные построения (деление отрезка пополам, сложение и вычитание отрезков).
3. На луче $AE$ откладываем от точки $A$ отрезок $AD=a$.
4. Проводим через точку $B$ прямую, параллельную $AD$.
5. На этой прямой откладываем отрезок $BC=b$ так, чтобы четырехугольник $BCDE$ был параллелограммом.
6. Соединяем точки $A, B, C, D$. Полученная трапеция $ABCD$ искомая.

Доказательство. По построению $BC \parallel AD$. Высота трапеции равна $h$. Боковая сторона $AB=c$. Так как $BCDE$ — параллелограмм ($BC \parallel ED$ и $BC = m-\frac{AE}{2}$, $ED=AD-AE = (m+\frac{AE}{2}) - AE = m-\frac{AE}{2}$, т.е. $BC=ED$), то $CD=BE=d$. Средняя линия равна $\frac{AD+BC}{2} = \frac{(m+\frac{AE}{2}) + (m-\frac{AE}{2})}{2} = \frac{2m}{2} = m$. Все условия выполнены.

Исследование. Задача имеет решение, если можно построить треугольник $ABE$, т.е. если $c \ge h$ и $d \ge h$. Также необходимо, чтобы основание $BC$ имело положительную длину, т.е. $m > \frac{AE}{2}$. В зависимости от взаимного расположения точек $A$ и $E$ на прямой $l$ (по одну или по разные стороны от $H$), мы можем получить два разных значения для $AE$, и, соответственно, до двух различных решений.

Ответ: План построения: 1. Построить треугольник $ABE$ по двум сторонам $c, d$ и высоте $h$, проведенной к третьей стороне. 2. Найти длины оснований трапеции по формулам $a = m + AE/2$ и $b = m - AE/2$. 3. На луче $AE$ отложить отрезок $AD=a$. 4. Достроить трапецию, построив вершину $C$ так, чтобы $BCDE$ был параллелограммом.

Пусть даны отрезки, равные боковым сторонам $c$ и $d$, высоте $h$ и одной из диагоналей, например, $d_1$. Требуется построить трапецию $ABCD$, в которой $AB=c$, $CD=d$, высота равна $h$ и диагональ $AC=d_1$.

Анализ. Основания трапеции $AD$ и $BC$ лежат на двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте $h$. Если мы зафиксируем положение вершины $A$ на одной из этих прямых, то положения остальных вершин можно будет определить последовательно, используя данные длины.

• Вершина $C$ должна лежать на второй параллельной прямой и находиться на расстоянии $d_1$ от точки $A$.
• Вершина $B$ должна лежать на второй параллельной прямой и находиться на расстоянии $c$ от точки $A$.
• Вершина $D$ должна лежать на первой прямой и находиться на расстоянии $d$ от уже найденной точки $C$.

Этот анализ приводит к прямому алгоритму построения.

Построение.

1. Проводим прямую $l_1$. Строим к ней перпендикуляр и откладываем на нем отрезок, равный $h$. Через конец этого отрезка проводим прямую $l_2$, параллельную $l_1$.
2. На прямой $l_1$ выбираем произвольную точку $A$.
3. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_2$ обозначаем $C$. (Если $d_1 > h$, будет две точки пересечения, выбираем любую).
4. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_2$ обозначаем $B$. (Если $c > h$, будет две точки, выбираем одну).
5. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_1$ обозначаем $D$. (Если $d > h$, будет две точки, выбираем ту, которая образует несамопересекающийся четырехугольник $ABCD$).
6. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ является искомой.

Доказательство. По построению, основания $AD$ и $BC$ лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно $h$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с высотой $h$. Длина боковой стороны $AB=c$ и диагонали $AC=d_1$, так как точки $B$ и $C$ лежат на соответствующих окружностях с центром в $A$. Длина второй боковой стороны $CD=d$, так как точка $D$ лежит на окружности с центром в $C$. Все условия задачи выполнены.

Исследование. Задача имеет решение, если заданные отрезки не меньше высоты: $c \ge h$, $d \ge h$ и $d_1 \ge h$. При построении на шагах 3, 4 и 5 существует по два варианта выбора точек (если длины отрезков строго больше $h$). Это дает до $2 \times 2 \times 2 = 8$ возможных комбинаций вершин. Некоторые из этих комбинаций могут приводить к конгруэнтным (например, симметричным) трапециям, а другие — к разным по форме. Таким образом, задача может иметь несколько решений.

Ответ: План построения: 1. Построить две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ на расстоянии $h$ друг от друга. 2. Выбрать на $l_1$ точку $A$. 3. Найти точку $C$ на $l_2$ как пересечение окружности с центром $A$ и радиусом $d_1$. 4. Найти точку $B$ на $l_2$ как пересечение окружности с центром $A$ и радиусом $c$. 5. Найти точку $D$ на $l_1$ как пересечение окружности с центром $C$ и радиусом $d$. 6. Соединить вершины $A, B, C, D$.