Номер 7.30, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.30. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

7.30. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Диагональ $AC$ разбивает трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. По условию задачи, оба этих треугольника являются равнобедренными.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при большем основании $\angle DAB = \angle CDA = \alpha$ и углы при меньшем основании $\angle ABC = \angle BCD = \beta$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Проведем диагональ $AC$. Пусть $\angle CAD = x$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ACB = \angle CAD = x$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

Тогда $\angle BAC = \angle DAB - \angle CAD = \alpha - x$.

Рассмотрим возможные случаи, при которых треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ являются равнобедренными. Наиболее общий случай, не приводящий к вырожденным решениям (например, к прямоугольной трапеции), следующий:

1. Пусть в $\triangle ABC$ равны стороны $AB = BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AC$, следовательно, $\angle BAC = \angle ACB$.

Используя наши обозначения, получаем: $\alpha - x = x$, откуда следует, что $\alpha = 2x$.

2. Пусть в $\triangle ACD$ равны стороны $AC = AD$.

В этом случае основанием является сторона $CD$, следовательно, углы при этом основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$.

Угол $\angle ADC = \alpha$.

Угол $\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = \beta - x$.

Таким образом, мы получаем равенство: $\alpha = \beta - x$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя переменными ($\alpha$, $\beta$, $x$):

1. $\alpha = 2x$
2. $\alpha = \beta - x$
3. $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим первое уравнение во второе: $2x = \beta - x$, откуда $\beta = 3x$.

Теперь подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ через $x$ в третье уравнение:

$2x + 3x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем углы трапеции $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha = 2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\beta = 3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Проверим, что $\alpha + \beta = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $72^\circ$ и $108^\circ$. Два угла при одном основании равны $72^\circ$, а два угла при другом — $108^\circ$.

(Примечание: другой возможный невырожденный случай, когда $AC=BC$ и $AD=CD$, приводит к тому же набору углов: $72^\circ$ и $108^\circ$. Существует также частный случай, когда трапеция является квадратом, и все ее углы равны $90^\circ$, что также удовлетворяет условию, так как диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника).

Ответ: Углы трапеции равны $72^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 108^\circ$.