Номер 7.31, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.31. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AC \perp BD$, $\angle CAD = 30^\circ$, $BD = 8$ см.

Найдите среднюю линию трапеции.

7.31. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AC \perp BD$, $\angle CAD = 30^\circ$, $BD = 8$ см.

Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $m$ — средняя линия трапеции ABCD. По определению, длина средней линии равна полусумме оснований:

$m = \frac{BC + AD}{2}$

Для нахождения суммы оснований $BC + AD$ воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть она пересекает продолжение основания AD в точке E.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCED. В нем $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, BCED — это параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $CE = BD = 8$ см, а также $BC = DE$.

Длина отрезка AE равна сумме длин отрезков AD и DE: $AE = AD + DE$. Так как $DE = BC$, мы можем записать: $AE = AD + BC$. Таким образом, длина отрезка AE равна сумме оснований трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. По условию задачи диагонали трапеции перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Поскольку по построению $CE \parallel BD$, то и $AC \perp CE$. Это означает, что треугольник ACE является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle ACE = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике ACE нам известен катет $CE = 8$ см. Угол $\angle CAE$ совпадает с углом $\angle CAD$, который по условию равен $30^\circ$. Катет CE лежит напротив этого угла. Используя определение синуса для прямоугольного треугольника, мы можем найти гипотенузу AE:

$sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AE}$

Подставим известные значения:

$sin(30^\circ) = \frac{8}{AE}$

Так как $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{AE}$

Из этого уравнения находим AE:

$AE = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Поскольку $AE = AD + BC$, сумма оснований трапеции равна 16 см. Теперь мы можем вычислить среднюю линию:

$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{AE}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.