Номер 7.24, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.24. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и меньшей боковой стороне.

7.24. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и меньшей боковой стороне.

Пусть даны три отрезка, соответствующие основаниям $a$ и $b$ (для определенности, пусть $a > b$) и меньшей боковой стороне $h$ прямоугольной трапеции. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, и она является высотой трапеции. Другая боковая сторона является наклонной. Длина наклонной боковой стороны $c$ связана с высотой $h$ и разностью оснований $(a-b)$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{h^2 + (a-b)^2}$. Отсюда следует, что $c > h$, поэтому меньшая боковая сторона — это та, что перпендикулярна основаниям. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и высотой $AB=h$, где $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

Алгоритм построения искомой трапеции с помощью циркуля и линейки:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AD$, равный большему основанию $a$.
3. В точке $A$ построить перпендикуляр к прямой $AD$. Для этого можно провести окружность с центром в $A$, пересекающую прямую в двух точках, а затем из этих точек провести две окружности одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения окружностей, будет искомым перпендикуляром.
4. На этом перпендикуляре отложить от точки $A$ отрезок $AB$, равный меньшей боковой стороне $h$.
5. В точке $B$ построить прямую, параллельную прямой $AD$. Это можно сделать, проведя перпендикуляр к отрезку $AB$ в точке $B$.
6. На построенной параллельной прямой отложить от точки $B$ отрезок $BC$, равный меньшему основанию $b$. Важно отложить его так, чтобы точки $C$ и $D$ лежали по одну сторону от прямой $AB$.
7. Соединить точки $C$ и $D$ отрезком.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомой прямоугольной трапецией. Докажем это. По построению, прямая, содержащая $BC$, параллельна прямой, содержащей $AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция. Длины оснований $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно. Боковая сторона $AB$ равна $h$. Угол $\angle DAB = 90^\circ$ по построению. Так как $AB$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$, и $AB \perp AD$, то $AB \perp BC$, откуда $\angle ABC = 90^\circ$. Таким образом, трапеция $ABCD$ — прямоугольная, и все данные условия выполнены.

Ответ: Алгоритм построения прямоугольной трапеции по заданным основаниям и меньшей боковой стороне описан выше. Он состоит в последовательном построении перпендикулярных сторон (большего основания и меньшей боковой стороны), а затем достраивании фигуры с использованием параллельности оснований и длины второго основания.