Номер 7.27, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.27. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

7.27. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB=CD$. По условию, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$) и углы при основаниях равны. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $AB = DC$ (по свойству равнобокой трапеции), $AC = BD$ (по свойству равнобокой трапеции), $AD$ — общая сторона.

Из равенства $\triangle ABD = \triangle DCA$ следует равенство соответствующих углов: $\angle BDA = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AD$ равны. Следовательно, $OA = OD$. Аналогично можно доказать, что $\triangle BOC$ является равнобедренным и $OB = OC$.

Поскольку по условию задачи диагонали перпендикулярны, то $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

Проведем через точку $O$ высоту трапеции $KH$, где точка $H$ лежит на основании $AD$, а точка $K$ — на основании $BC$. Высота трапеции $h$ будет равна сумме отрезков $OH$ и $OK$, то есть $h = OH + OK$. Отрезок $OH$ является высотой в треугольнике $\triangle AOD$, а $OK$ — высотой в треугольнике $\triangle BOC$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $OH$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AD$, является также и медианой. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине гипотенузы: $OH = \frac{1}{2}AD$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ высота $OK$, проведенная к гипотенузе $BC$, является медианой и равна половине гипотенузы: $OK = \frac{1}{2}BC$.

Теперь мы можем выразить высоту трапеции $h$:$h = OH + OK = \frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC = \frac{AD + BC}{2}$.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований:$m = \frac{AD + BC}{2}$.

Сравнивая полученные выражения для высоты $h$ и средней линии $m$, мы видим, что они равны: $h=m$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Высота равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна ее средней линии.