Номер 7.25, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.25. Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.

7.25. Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.

Задача о построении равнобокой трапеции по основанию, боковой стороне и диагонали может иметь два решения в общем случае, так как данное основание может быть как большим, так и меньшим основанием трапеции. Пусть даны отрезки, задающие длины: $a$ — основание, $c$ — боковая сторона, $d$ — диагональ.

Случай 1: Данное основание $a$ является большим основанием трапеции.

Анализ
Пусть $ABCD$ — искомая равнобокая трапеция, где $AD$ — большее основание ($AD=a$), $AB=CD=c$ — боковые стороны, а $AC=BD=d$ — диагонали. Рассмотрим треугольник $ADC$. Длины всех его сторон известны: $AD=a$, $CD=c$ и $AC=d$. Следовательно, мы можем построить этот треугольник. После построения треугольника $ADC$ необходимо найти положение четвертой вершины $B$. Вершина $B$ должна удовлетворять двум условиям: 1. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), точка $B$ должна лежать на прямой, проходящей через точку $C$ параллельно прямой $AD$. 2. В равнобокой трапеции диагонали равны, поэтому длина диагонали $BD$ должна быть равна длине диагонали $AC$, то есть $BD=d$. Это означает, что точка $B$ должна лежать на окружности с центром в точке $D$ и радиусом $d$. Таким образом, вершина $B$ является точкой пересечения указанной прямой и окружности.

Построение
1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AD$, равный $a$.
2. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.
3. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $c$.
4. Точка пересечения этих двух окружностей является вершиной $C$. (Существует две такие точки, симметричные относительно прямой $AD$. Выбор любой из них приводит к одному и тому же решению с точностью до симметрии).
5. Через точку $C$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
6. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$.
7. Одна из точек пересечения прямой $l$ и этой окружности будет искомой вершиной $B$. Следует выбрать ту точку, для которой четырехугольник $ABCD$ будет выпуклым.
8. Соединяем точки отрезками. $ABCD$ — искомая равнобокая трапеция.

Доказательство
По построению, прямая $BC$ параллельна $AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция. Длины сторон $AD$, $CD$ и диагонали $AC$ равны $a$, $c$ и $d$ соответственно по построению треугольника $ADC$. Длина диагонали $BD$ равна $d$ по построению точки $B$. Так как в трапеции $ABCD$ диагонали равны ($AC = BD = d$), то она является равнобокой. Из свойства равнобокой трапеции следует, что ее боковые стороны равны, т.е. $AB = CD = c$. Таким образом, построенная трапеция имеет заданные основание $a$, боковую сторону $c$ и диагональ $d$.

Исследование
Построение возможно тогда и только тогда, когда можно построить треугольник $ADC$ со сторонами $a, c, d$. Для этого необходимо и достаточно выполнение неравенств треугольника: $a+c > d$, $a+d > c$ и $c+d > a$. Если эти условия выполнены, задача для данного случая имеет единственное решение (с точностью до симметрии).

Ответ: Построение выполняется путем построения треугольника $ADC$ по трем заданным сторонам ($AD=a, CD=c, AC=d$), а затем нахождения четвертой вершины $B$ в точке пересечения прямой, проходящей через $C$ параллельно $AD$, и окружности с центром в $D$ и радиусом $d$.

Случай 2: Данное основание $a$ является меньшим основанием трапеции.

Анализ
Пусть $ABCD$ — искомая равнобокая трапеция, где $BC$ — меньшее основание ($BC=a$), $AB=CD=c$ — боковые стороны, а $AC=BD=d$ — диагонали. Рассмотрим треугольник $ABC$. Длины всех его сторон известны: $BC=a$, $AB=c$ и $AC=d$. Следовательно, мы можем построить этот треугольник. После построения треугольника $ABC$ необходимо найти положение четвертой вершины $D$. Вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям: 1. Так как $AD \parallel BC$, точка $D$ должна лежать на прямой, проходящей через точку $A$ параллельно прямой $BC$. 2. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны, т.е. $CD = AB = c$. Это означает, что точка $D$ должна лежать на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $c$. Таким образом, вершина $D$ является точкой пересечения указанной прямой и окружности.

Построение
1. На произвольной прямой откладываем отрезок $BC$, равный $a$.
2. Строим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $c$.
3. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d$.
4. Точка пересечения этих двух окружностей является вершиной $A$. (Выберем одну из двух симметричных точек).
5. Через точку $A$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $BC$.
6. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $c$.
7. Одна из точек пересечения прямой $l$ и этой окружности будет искомой вершиной $D$. Следует выбрать ту точку, для которой четырехугольник $ABCD$ будет выпуклым.
8. Соединяем точки отрезками. $ABCD$ — искомая равнобокая трапеция.

Доказательство
По построению, прямая $AD$ параллельна $BC$, следовательно, $ABCD$ — трапеция. Длины сторон $BC$, $AB$ и диагонали $AC$ равны $a$, $c$ и $d$ соответственно по построению треугольника $ABC$. Длина боковой стороны $CD$ равна $c$ по построению точки $D$. Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD = c$), то она является равнобокой. Таким образом, построенная трапеция имеет заданные основание $a$, боковую сторону $c$ и диагональ $d$.

Исследование
Аналогично первому случаю, построение возможно тогда и только тогда, когда можно построить треугольник $ABC$ со сторонами $a, c, d$. Для этого необходимо выполнение неравенств треугольника: $a+c > d$, $a+d > c$ и $c+d > a$. Если эти условия выполнены, задача для данного случая имеет единственное решение (с точностью до симметрии).

Ответ: Построение выполняется путем построения треугольника $ABC$ по трем заданным сторонам ($BC=a, AB=c, AC=d$), а затем нахождения четвертой вершины $D$ в точке пересечения прямой, проходящей через $A$ параллельно $BC$, и окружности с центром в $C$ и радиусом $c$.