Номер 7.15, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.15. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

7.15. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть меньшее основание трапеции равно $b$, а большее – $a$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. Согласно условию, средняя линия равна 9 см, поэтому мы можем составить первое уравнение: $\frac{a+b}{2} = 9$, откуда $a+b = 18$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AD$ – большее основание ($a$), $BC$ – меньшее ($b$), а $AB$ – боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Проведём высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ на основание $AD$. Четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником, так как $AB \perp AD$, $CH \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Из этого следует, что отрезок $AH$ равен меньшему основанию: $AH = BC = b$.

Высота $CH$ делит большее основание $a$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. По условию задачи, один из отрезков в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла $A$. Это означает, что $HD = 2 \cdot AH$. Поскольку $AH = b$, то $HD = 2b$.

Теперь мы можем выразить большее основание $a$ через $b$: $a = AD = AH + HD = b + 2b = 3b$. Это наше второе уравнение.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a+b = 18 \\ a = 3b \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$3b + b = 18$

$4b = 18$

$b = \frac{18}{4} = 4,5$ см.

Теперь найдем большее основание $a$:

$a = 3b = 3 \cdot 4,5 = 13,5$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 4,5 см и 13,5 см.

Ответ: 4,5 см и 13,5 см.