Номер 7.13, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.13. Каждую из боковых сторон трапеции ABCD (рис. 7.12) разделили на четыре равные части: $AE = EF = FK = KB$, $DN = NM = MP = PC$. Найдите отрезки $EN, FM$ и $KP$, если $AD = 19$ см, $BC = 11$ см.

Рис. 7.12

7.13. Каждую из боковых сторон трапеции $ABCD$ (рис. 7.12) разделили на четы-ре равные части: $AE = EF = FK = KB$, $DN = NM = MP = PC$. Найдите отрез-ки $EN, FM$ и $KP$, если $AD = 19$ см, $BC = 11$ см.

Рис. 7.12

Поскольку боковые стороны трапеции ABCD разделены на 4 равные части, отрезки EN, FM и KP, соединяющие соответствующие точки деления, параллельны основаниям AD и BC. Длины отрезков BC, KP, FM, EN и AD образуют арифметическую прогрессию. Обозначим длины оснований как $a_1 = BC = 11$ см и $a_5 = AD = 19$ см. Искомые отрезки будут соответствовать членам прогрессии $a_2, a_3, a_4$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Используем формулу n-го члена прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$19 = 11 + 4d$

$4d = 19 - 11$

$4d = 8$

$d = 2$ см.

Теперь, зная разность прогрессии, можем найти длины искомых отрезков.

EN

Отрезок EN соответствует четвертому члену прогрессии ($a_4$).

$EN = a_4 = a_1 + (4-1)d = 11 + 3 \cdot 2 = 11 + 6 = 17$ см.

Также можно рассмотреть EN как среднюю линию трапеции AFMD. Сначала найдем FM как среднюю линию трапеции ABCD: $FM = \frac{AD + BC}{2} = \frac{19 + 11}{2} = 15$ см. Тогда $EN = \frac{AD + FM}{2} = \frac{19 + 15}{2} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

FM

Отрезок FM соответствует третьему члену прогрессии ($a_3$).

$FM = a_3 = a_1 + (3-1)d = 11 + 2 \cdot 2 = 11 + 4 = 15$ см.

Также FM является средней линией всей трапеции ABCD, так как точки F и M являются серединами боковых сторон AB и CD соответственно. Ее длина равна полусумме оснований: $FM = \frac{AD + BC}{2} = \frac{19 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

KP

Отрезок KP соответствует второму члену прогрессии ($a_2$).

$KP = a_2 = a_1 + (2-1)d = 11 + 1 \cdot 2 = 13$ см.

Также можно рассмотреть KP как среднюю линию трапеции FBCM. Используя найденную ранее длину $FM=15$ см: $KP = \frac{FM + BC}{2} = \frac{15 + 11}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Ответ: 13 см.