Номер 7.7, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.7. Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов – $45^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

7.7. Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов – $45^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — параллельные основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. В этом случае углы $\angle A$ и $\angle B$ являются прямыми, а сторона $AB$ также является высотой трапеции.

По условию, основания равны 10 см и 24 см. Пусть меньшее основание $BC = 10$ см, а большее $AD = 24$ см. Также известно, что один из углов равен $45^\circ$. Поскольку углы $A$ и $B$ прямые, речь идет либо об угле $C$, либо об угле $D$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ это означает $\angle C + \angle D = 180^\circ$. В прямоугольной трапеции угол при большем основании ($D$) является острым, а при меньшем ($C$) — тупым. Следовательно, острый угол $\angle D = 45^\circ$, а тупой угол $\angle C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Для решения задачи проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как $AB$ и $CH$ перпендикулярны одному и тому же основанию $AD$, они параллельны и равны. Четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому $AH = BC = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $HD$, который является частью большего основания:
$HD = AD - AH = 24 - 10 = 14$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (угол $\angle CHD = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle D = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, значит, $\angle HCD = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = HD$.
Так как мы нашли, что $HD = 14$ см, то и высота $CH = 14$ см.

Боковыми сторонами трапеции являются $AB$ и $CD$. Мы знаем, что $AB = CH$, следовательно, $AB = 14$ см. Вторая боковая сторона $CD$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $CHD$. Гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $CD > CH$. Значит, $CD > AB$.

Таким образом, меньшая боковая сторона трапеции — это $AB$, ее длина равна высоте трапеции.

Ответ: 14 см.