Номер 7.1, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.1. Могут ли два противоположных угла трапеции быть:

1) тупыми;

2) прямыми;

3) равными?

7.1. Могут ли два противоположных угла трапеции быть:

1) тупыми;

2) прямыми;

3) равными?

1) тупыми;

Да, два противолежащих угла трапеции могут быть тупыми. Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$). По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Предположим, что противолежащие углы при меньшем основании, $\angle B$ и $\angle C$, являются тупыми (то есть их градусная мера больше $90^\circ$). Такое возможно. В этом случае углы при большем основании, $\angle A$ и $\angle D$, будут острыми (меньше $90^\circ$).

Если $\angle B > 90^\circ$, то угол $\angle A = 180^\circ - \angle B$ будет меньше $90^\circ$.

Если $\angle C > 90^\circ$, то угол $\angle D = 180^\circ - \angle C$ будет меньше $90^\circ$.

Таким образом, в трапеции может быть одна пара противолежащих тупых углов и одна пара противолежащих острых углов. Например, в трапеции с основаниями 4 и 10 и высотой 3, углы при меньшем основании будут тупыми. Противолежащие углы в такой трапеции не будут равны (если это не равнобедренная трапеция, где тупые углы противолежат острым), но пара противолежащих углов может быть тупой. Например, если углы $A=70^\circ, B=110^\circ, C=120^\circ, D=60^\circ$. Здесь противолежащие углы $B$ и $D$ не являются оба тупыми, но $A$ и $C$ тоже. Чтобы противолежащие углы были тупыми, например $\angle A$ и $\angle C$, нужно, чтобы $\angle A > 90^\circ$ и $\angle C > 90^\circ$. Это возможно: тогда $\angle B < 90^\circ$ и $\angle D < 90^\circ$.

Ответ: Да, могут.

2) прямыми;

Да, могут. Пусть в трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) противолежащие углы $\angle A$ и $\angle C$ — прямые. То есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$.

Из свойства углов, прилежащих к боковой стороне, следует:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

$\angle D = 180^\circ - \angle C$ (это верно, если боковая сторона CD). Если боковая сторона AB, то $\angle D$ может быть любым. Однако, если $BC \parallel AD$ и $\angle A=90^\circ$, то боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Если и $\angle C=90^\circ$, то боковая сторона $CD$ также должна быть перпендикулярна основаниям, что сделает все углы прямыми. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$, $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D = 360^\circ$. $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Если $\angle A = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$, то $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Такой четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Прямоугольник — это частный случай трапеции, так как у него есть как минимум одна пара параллельных сторон (у прямоугольника их две).

Ответ: Да, могут.

3) равными?

Да, могут. Пусть в трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равны противолежащие углы, например, $\angle A = \angle C$.

Из свойств трапеции мы знаем, что:

$\angle B = 180^\circ - \angle A$

$\angle D = 180^\circ - \angle C$

Поскольку по предположению $\angle A = \angle C$, из этих равенств следует, что $\angle B = \angle D$.

Таким образом, если одна пара противолежащих углов трапеции равна, то и вторая пара противолежащих углов тоже равна. Четырехугольник, у которого противолежащие углы попарно равны, является параллелограммом. Параллелограмм является частным случаем трапеции, так как у него есть по крайней мере одна пара параллельных сторон.

Ответ: Да, могут.