Номер 6.32, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.32. В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.

6.32. В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противолежащих сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.

Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ являются серединами противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. По условию, прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, образует равные углы с диагоналями $AC$ и $BD$.

Введем в рассмотрение точки $K$ и $P$ — середины двух других сторон, $BC$ и $DA$ соответственно. Соединив последовательно точки $M$, $K$, $N$ и $P$, получим четырехугольник $MKNP$. Согласно теореме Вариньона, этот четырехугольник является параллелограммом.

Стороны этого параллелограмма являются средними линиями в треугольниках, образованных сторонами и диагоналями исходного четырехугольника $ABCD$. В частности:

• В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ является средней линией, из чего следует, что $MK \parallel AC$ и $MK = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $BCD$ отрезок $KN$ является средней линией, из чего следует, что $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Теперь используем условие задачи. Угол между прямой $MN$ и диагональю $AC$ равен углу между прямыми $MN$ и $MK$, поскольку $MK \parallel AC$. Аналогично, угол между прямой $MN$ и диагональю $BD$ равен углу между прямыми $MN$ и $KN$, поскольку $KN \parallel BD$.

Так как по условию прямая $MN$ образует равные углы с диагоналями $AC$ и $BD$, то отсюда следует, что прямая $MN$ образует равные углы с прямыми $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MKN$. Условие о равенстве углов, которые образует прямая $MN$ с прямыми $MK$ и $KN$, означает, что внутренние углы треугольника при вершинах $M$ и $N$ равны: $\angle KMN = \angle KNM$.

Треугольник, у которого равны два угла, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle MKN$ — равнобедренный с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Таким образом, $MK = KN$.

Подставим в это равенство выражения для длин сторон $MK$ и $KN$ через длины диагоналей $AC$ и $BD$:

$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$

Умножив обе части равенства на 2, получаем искомое соотношение:

$AC = BD$

Таким образом, доказано, что диагонали четырехугольника равны. Аналогичное доказательство можно провести, если прямая проходит через середины сторон $AD$ и $BC$.

Ответ: Утверждение доказано.