Номер 6.33, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.33. В треугольнике $ABC$ $AC > AB$, а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. На стороне $AC$ отметили точку $M$ так, что $AB = MC$. Точка $E$ — середина отрезка $AM$, точка $D$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $CED$.

6.33. В треугольнике $ABC$ $AC > AB$, а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. На стороне $AC$ отметили точку $M$ так, что $AB = MC$. Точка $E$ — середина отрезка $AM$, точка $D$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $CED$.

Для решения данной геометрической задачи воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Введем вспомогательную точку $F$ — середину стороны $AC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $DF$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$, следовательно, $DF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $DF$ параллельна стороне $AB$ и равна ее половине:

$DF \parallel AB$ и $DF = \frac{1}{2}AB$.

3. Выразим длину отрезка $EF$ через известные величины. Точка $E$ — середина отрезка $AM$, поэтому $AE = \frac{1}{2}AM$. Точка $F$ — середина отрезка $AC$, поэтому $AF = \frac{1}{2}AC$.

Из условия задачи известно, что точка $M$ лежит на стороне $AC$, значит $AC = AM + MC$. Также по условию $AB = MC$. Заменив $MC$ на $AB$, получим $AC = AM + AB$, откуда $AM = AC - AB$.

Теперь найдем длину $AE$: $AE = \frac{1}{2}AM = \frac{AC - AB}{2}$.

Поскольку по условию $AC > AB$, то $AB > 0$, и $AE = \frac{AC - AB}{2} < \frac{AC}{2} = AF$. Это означает, что точка $E$ лежит между точками $A$ и $F$.

Длина отрезка $EF$ равна разности длин отрезков $AF$ и $AE$:

$EF = AF - AE = \frac{AC}{2} - \frac{AC - AB}{2} = \frac{AC - (AC - AB)}{2} = \frac{AB}{2}$.

4. Рассмотрим треугольник $DFE$. Мы установили, что $DF = \frac{1}{2}AB$ и $EF = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, $DF = EF$, и треугольник $DFE$ является равнобедренным с основанием $DE$.

5. Найдем угол $\angle DFE$ в треугольнике $DFE$. Этот угол образован векторами $\vec{FD}$ и $\vec{FE}$. Выразим эти векторы через векторы сторон треугольника $ABC$, отложенные от его вершин.

Из определения точек $D$ и $F$ как середин сторон следует, что $\vec{FD} = \vec{D} - \vec{F} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} - \frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = \frac{\vec{B}-\vec{A}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Аналогично, $\vec{FE} = \vec{E} - \vec{F} = \frac{\vec{A}+\vec{M}}{2} - \frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = \frac{\vec{M}-\vec{C}}{2} = \frac{1}{2}\vec{CM}$.

Точки $A, M, C$ лежат на одной прямой, причем $M$ находится между $A$ и $C$. Следовательно, вектор $\vec{CM}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AC}$. Таким образом, вектор $\vec{FE}$ сонаправлен с вектором $-\vec{AC}$.

Угол $\angle DFE$ равен углу между векторами $\vec{FD}$ и $\vec{FE}$, что соответствует углу между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{AC}$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по условию равен $\alpha$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{AC}$ является смежным с ним и равен $180^\circ - \alpha$.

Следовательно, $\angle DFE = 180^\circ - \alpha$.

6. Теперь, зная угол при вершине равнобедренного треугольника $DFE$, найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle FDE + \angle FED + \angle DFE = 180^\circ$

Так как $\triangle DFE$ равнобедренный, $\angle FDE = \angle FED$.

$2\angle FED + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$2\angle FED = \alpha$

$\angle FED = \frac{\alpha}{2}$

7. Искомый угол $\angle CED$ и найденный угол $\angle FED$ имеют общую сторону $ED$. Их другие стороны, $EC$ и $EF$, лежат на одной прямой $AC$. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $EC$, лучи $EC$ и $EF$ совпадают. Значит, $\angle CED = \angle FED$.

Таким образом, искомый угол $\angle CED = \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\frac{\alpha}{2}$.