Номер 7.5, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.5. Высота равнобокой трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите основания трапеции.

7.5. Высота равнобокой трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причём AD — большее основание. Проведём высоту BH из вершины B (конца меньшего основания) на большее основание AD. По условию, точка H делит основание AD на два отрезка, длины которых равны 6 см и 10 см.

Сначала найдём длину большего основания AD. Она равна сумме длин отрезков, на которые её делит высота:$AD = 6 \text{ см} + 10 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Теперь найдём длину меньшего основания BC. В равнобокой трапеции высоты, проведённые из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки. Проведём вторую высоту CK из вершины C на основание AD. Тогда получим, что отрезки $AH$ и $KD$ равны.

Возможны два случая в зависимости от того, какой из отрезков (AH или HD) равен 6 см.

1. Пусть $AH = 6$ см и $HD = 10$ см.
По свойству равнобокой трапеции, $AH = KD = 6$ см.Большее основание AD состоит из трёх отрезков: $AD = AH + HK + KD$.Четырёхугольник HBCK является прямоугольником, так как BH и CK — высоты, а BC параллельно AD. Следовательно, $HK = BC$.Подставим известные значения в формулу для AD:$16 = 6 + BC + 6$$16 = 12 + BC$$BC = 16 - 12 = 4$ см.Это возможное решение.

2. Пусть $AH = 10$ см и $HD = 6$ см.
Аналогично, по свойству равнобокой трапеции $AH = KD = 10$ см.Тогда большее основание $AD = AH + HK + KD = 10 + BC + 10 = 20 + BC$.Но мы уже нашли, что $AD = 16$ см. Получаем:$16 = 20 + BC$$BC = 16 - 20 = -4$ см.Длина основания не может быть отрицательной, следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, правильным является только первый случай. Меньшее основание равно 4 см, а большее основание равно 16 см.
Ответ: 4 см и 16 см.