Номер 7.2, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

7.2. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

7.2. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Для доказательства утверждения рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По определению, равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны ($AB = CD$). Нам необходимо доказать, что если углы при одном из оснований равны, то трапеция является равнобокой. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Равны углы при большем основании

Пусть в трапеции $ABCD$ равны углы при основании $AD$, то есть $\angle A = \angle D$.

Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Получим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

Поскольку $AD \parallel BC$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то отрезки $BH$ и $CK$ являются высотами трапеции, и они равны между собой: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ ($\angle AHB = \angle DKC = 90^\circ$). В них:

• $BH = CK$ (как высоты трапеции).
• $\angle A = \angle D$ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и противолежащему ему острому углу. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $AB = CD$. А это означает, что трапеция $ABCD$ является равнобокой.

Случай 2: Равны углы при меньшем основании

Пусть в трапеции $ABCD$ равны углы при основании $BC$, то есть $\angle B = \angle C$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущих $AB$ и $CD$.

Поэтому справедливы равенства:

• $\angle A + \angle B = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - \angle B$
• $\angle D + \angle C = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - \angle C$

Поскольку по условию $\angle B = \angle C$, то и $180^\circ - \angle B = 180^\circ - \angle C$. Отсюда следует, что $\angle A = \angle D$.

Таким образом, мы свели задачу к первому случаю. Если у трапеции равны углы при большем основании, то она, как было доказано выше, является равнобокой.

Итак, в обоих случаях мы доказали, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то трапеция является равнобокой.

Ответ: Что и требовалось доказать.