Номер 6.31, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.31. Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равны. Через середины диагоналей AC и BD проведена прямая, которая пересекает стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Докажите, что $\angle \mathit{BMN} = \angle \mathit{CNM}$.

6.31. Стороны $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны. Через середины диагоналей $AC$ и $BD$ проведена прямая, которая пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $\angle BMN = \angle CNM$.

Пусть $K$ и $L$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Прямая, проходящая через точки $K$ и $L$, пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$.

Для доказательства воспользуемся дополнительным построением. Пусть $Q$ — середина стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KQ$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Следовательно, $KQ$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KQ$ параллельна стороне $AB$ и её длина равна половине длины этой стороны:

$KQ \parallel AB$ и $KQ = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $LQ$ соединяет середины сторон $BD$ и $BC$. Следовательно, $LQ$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии, $LQ$ параллельна стороне $CD$ и её длина равна половине длины этой стороны:

$LQ \parallel CD$ и $LQ = \frac{1}{2}CD$.

По условию задачи дано, что стороны $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Из этого следует, что длины средних линий $KQ$ и $LQ$ также равны:

$KQ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = LQ$.

Рассмотрим треугольник $KQL$. Поскольку две его стороны равны ($KQ = LQ$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $KL$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle QKL = \angle QLK$.

Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, — это та же прямая, что проходит через точки $K$ и $L$. Найдём углы, которые эта прямая образует с прямыми $AB$ и $CD$.

Так как $KQ \parallel AB$, угол между прямой $MN$ (которая является прямой $KL$) и прямой $AB$ равен углу между прямой $KL$ и прямой $KQ$. Этот угол (как внутренние накрест лежащие или соответственные, в зависимости от расположения) по величине равен $\angle QKL$.

Аналогично, так как $LQ \parallel CD$, угол между прямой $MN$ и прямой $CD$ равен углу между прямой $KL$ и прямой $LQ$. Этот угол по величине равен $\angle QLK$.

Поскольку $\angle QKL = \angle QLK$, мы можем заключить, что прямая $MN$ образует равные углы с прямыми $AB$ и $CD$.

Рассмотрим два случая.

1. Прямые $AB$ и $CD$ не параллельны. Пусть они пересекаются в точке $X$. Тогда точки $M$ и $N$ лежат на сторонах треугольника $XMN$. Утверждение о том, что прямая $MN$ образует равные углы с прямыми $AB$ (т.е. $XM$) и $CD$ (т.е. $XN$), означает, что углы при основании $MN$ треугольника $XMN$ равны: $\angle XMN = \angle XNM$.

Угол $\angle BMN$ является смежным с углом $\angle XMN$, так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, $\angle BMN = 180^\circ - \angle XMN$.

Аналогично, угол $\angle CNM$ является смежным с углом $\angle XNM$. Таким образом, $\angle CNM = 180^\circ - \angle XNM$.

Так как $\angle XMN = \angle XNM$, то и смежные с ними углы равны: $\angle BMN = \angle CNM$.

2. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Поскольку по условию $AB = CD$, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. В этом случае диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, то есть их середины $K$ и $L$ совпадают. Тогда прямая, проходящая через $K$ и $L$, не определена однозначно. Однако, если точки $K$ и $L$ различны (т.е. $ABCD$ не параллелограмм), то прямые $AB$ и $CD$ не могут быть параллельны при условии $AB=CD$ (иначе это был бы параллелограмм). Таким образом, мы рассматриваем только первый случай, когда $AB$ и $CD$ не параллельны.

Следовательно, равенство $\angle BMN = \angle CNM$ доказано.

Ответ: Утверждение, что $\angle BMN = \angle CNM$, доказано.