Номер 6.27, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.27. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $AD > BC$, точки $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно, $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$.

Докажите, что $AD \parallel BC$.

6.27. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $AD > BC$, точки $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно, $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$.

Докажите, что $AD \parallel BC$.

Для доказательства воспользуемся методом дополнительного построения. Пусть K — середина стороны CD четырехугольника ABCD.

1. Рассмотрим треугольник ACD. Так как M — середина стороны AC (по условию) и K — середина стороны CD (по построению), то отрезок MK является средней линией треугольника ACD. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы имеем:

$MK \parallel AD$ и $MK = \frac{1}{2}AD$.

2. Рассмотрим треугольник BCD. Так как N — середина стороны BD (по условию) и K — середина стороны CD (по построению), то отрезок NK является средней линией треугольника BCD. Аналогично, по свойству средней линии треугольника:

$NK \parallel BC$ и $NK = \frac{1}{2}BC$.

3. Теперь рассмотрим три точки M, N и K. Эти точки образуют треугольник MNK, или лежат на одной прямой. Для любых трех точек в пространстве справедливо неравенство треугольника, которое в данном случае можно записать как $MN \ge |MK - NK|$.

Подставим в это неравенство выражения для длин MK и NK, полученные ранее:

$MN \ge |\frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC| = \frac{1}{2}|AD - BC|$.

По условию задачи дано, что $AD > BC$, следовательно $AD - BC > 0$, и модуль можно раскрыть:

$MN \ge \frac{1}{2}(AD - BC)$.

4. Однако, по условию задачи нам дано точное равенство: $MN = \frac{1}{2}(AD - BC)$.

Это означает, что неравенство треугольника для точек M, N, K обращается в равенство: $MN = |MK - NK|$. Такое возможно тогда и только тогда, когда точки M, N, K лежат на одной прямой. Поскольку $MK = \frac{1}{2}AD > \frac{1}{2}BC = NK$, точка N лежит на отрезке MK.

5. Из того, что точки M, N, K лежат на одной прямой, следует, что прямые MK и NK совпадают.Мы установили, что $MK \parallel AD$ и $NK \parallel BC$.Так как прямые MK и NK совпадают, то их общая прямая параллельна как AD, так и BC. Если одна прямая параллельна двум другим прямым, то эти две прямые параллельны между собой.

Следовательно, $AD \parallel BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.