Номер 6.23, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.23. Даны треугольник ABC и точки D и E такие, что $\angle ADB = \angle BEC = 90^\circ$ (рис. 6.5). Докажите, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника ABC.

Рис. 6.5

6.23. Даны треугольник ABC и точки D и E такие, что $\angle ADB = \angle BEC = 90^\circ$ (рис. 6.5). Докажите, что длина отрезка DE не больше полупериметра треугольника ABC.

Рис. 6.5

По условию задачи, нам дан треугольник $ABC$ и точки $D$ и $E$ такие, что $\angle ADB = 90^\circ$ и $\angle BEC = 90^\circ$. Это значит, что треугольники $ADB$ и $BEC$ являются прямоугольными. Нам нужно доказать, что $DE \le \frac{AB + BC + AC}{2}$.

Для доказательства воспользуемся свойствами медиан в прямоугольных треугольниках и свойством средней линии треугольника.

1. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$. Так как треугольник $ADB$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$, то отрезок $DM$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, её длина равна половине длины гипотенузы: $$DM = \frac{1}{2} AB$$

2. Пусть точка $N$ — середина стороны $BC$. Так как треугольник $BEC$ — прямоугольный с гипотенузой $BC$, то отрезок $EN$ является медианой, проведенной к гипотенузе. Аналогично, её длина равна половине длины гипотенузы: $$EN = \frac{1}{2} BC$$

3. Рассмотрим отрезок $MN$. Поскольку точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, отрезок $MN$ является его средней линией. По свойству средней линии, её длина равна половине длины третьей стороны $AC$: $$MN = \frac{1}{2} AC$$

4. Теперь рассмотрим ломаную линию $DMNE$. Длина отрезка $DE$ не может быть больше длины этой ломаной, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая. Это следует из неравенства треугольника (длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон). Применяя это свойство, получаем: $$DE \le DM + MN + NE$$

5. Подставим в полученное неравенство выражения для длин отрезков $DM$, $MN$ и $NE$, которые мы нашли в пунктах 1, 2 и 3: $$DE \le \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BC$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$DE \le \frac{AB + BC + AC}{2}$$

Выражение в правой части неравенства является полупериметром треугольника $ABC$. Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $DE$ не больше полупериметра треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано, что $DE \le \frac{AB + BC + AC}{2}$.