Номер 6.18, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.18. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке.

6.18. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим:

• $K$ — середину стороны $AB$,
• $L$ — середину стороны $BC$,
• $M$ — середину стороны $CD$,
• $N$ — середину стороны $DA$.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, — это $KM$ и $LN$.

Также обозначим $P$ — середину диагонали $AC$, и $Q$ — середину диагонали $BD$. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, — это $PQ$.

Требуется доказать, что отрезки $KM$, $LN$ и $PQ$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем произвольное начало координат и будем работать с радиус-векторами вершин четырёхугольника: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$.

Радиус-векторы середин сторон и диагоналей выражаются через радиус-векторы вершин следующим образом:

• Радиус-вектор точки $K$: $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
• Радиус-вектор точки $L$: $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
• Радиус-вектор точки $M$: $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
• Радиус-вектор точки $N$: $\vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$
• Радиус-вектор точки $P$: $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
• Радиус-вектор точки $Q$: $\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Теперь найдём радиус-векторы середин отрезков $KM$, $LN$ и $PQ$.

Пусть $S_1$ — середина отрезка $KM$. Её радиус-вектор $\vec{s_1}$ равен:

$\vec{s_1} = \frac{\vec{k} + \vec{m}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Пусть $S_2$ — середина отрезка $LN$. Её радиус-вектор $\vec{s_2}$ равен:

$\vec{s_2} = \frac{\vec{l} + \vec{n}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Пусть $S_3$ — середина отрезка $PQ$. Её радиус-вектор $\vec{s_3}$ равен:

$\vec{s_3} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Поскольку радиус-векторы середин всех трёх отрезков равны ($\vec{s_1} = \vec{s_2} = \vec{s_3}$), все три отрезка ($KM$, $LN$ и $PQ$) имеют общую середину. Это означает, что они пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке.