Номер 6.19, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.19. В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов, прилежащих к стороне $AD$, равна $90^\circ$. Точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно, точки $M$ и $N$ — середины диагоналей. Докажите, что $MN = KL$.

6.19. В четырёхугольнике $ABCD$ сумма углов, прилежащих к стороне $AD$, равна $90^{\circ}$.

Точки $K$ и $L$ - середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно, точки $M$ и $N$ - середины диагоналей. Докажите, что $MN = KL$.

Доказательство:

Продлим стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника $ABCD$ до их пересечения в точке $P$. Рассмотрим треугольник $APD$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $D$ совпадают с углами четырехугольника $\angle A$ и $\angle D$. По условию, $\angle A + \angle D = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $APD$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $P$ равен:$\angle APD = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Это означает, что прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $DC$, перпендикулярны.

Для удобства решения введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $P$. Направим ось $Oy$ вдоль прямой $PA$ и ось $Ox$ вдоль прямой $PD$. В этой системе координат вершины четырехугольника будут иметь следующие координаты для некоторых чисел $a, b, c, d$:$A(0, a)$, $B(0, b)$, $C(c, 0)$, $D(d, 0)$.

Теперь найдем координаты данных в задаче точек $K, L, M, N$ как середин соответствующих отрезков по формуле $X_c = \frac{X_1+X_2}{2}, Y_c = \frac{Y_1+Y_2}{2}$:
$K$ — середина $BC$: $K(\frac{0+c}{2}, \frac{b+0}{2}) = (\frac{c}{2}, \frac{b}{2})$
$L$ — середина $AD$: $L(\frac{0+d}{2}, \frac{a+0}{2}) = (\frac{d}{2}, \frac{a}{2})$
$M$ — середина диагонали $AC$: $M(\frac{0+c}{2}, \frac{a+0}{2}) = (\frac{c}{2}, \frac{a}{2})$
$N$ — середина диагонали $BD$: $N(\frac{0+d}{2}, \frac{b+0}{2}) = (\frac{d}{2}, \frac{b}{2})$

Осталось найти длины отрезков $KL$ и $MN$ и сравнить их. Для этого воспользуемся формулой квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Для отрезка $KL$:
$KL^2 = (\frac{d}{2} - \frac{c}{2})^2 + (\frac{a}{2} - \frac{b}{2})^2 = \frac{1}{4}((d-c)^2 + (a-b)^2)$
Для отрезка $MN$:
$MN^2 = (\frac{d}{2} - \frac{c}{2})^2 + (\frac{b}{2} - \frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4}((d-c)^2 + (b-a)^2)$

Поскольку $(a-b)^2 = (b-a)^2$, правые части выражений для $KL^2$ и $MN^2$ равны. Следовательно, $KL^2 = MN^2$. Так как длины отрезков являются неотрицательными величинами, из равенства их квадратов следует равенство и самих длин: $KL = MN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MN = KL$.