Номер 6.14, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM = 3BM$, $CK = 3BK$. Докажите, что $MK \parallel AC$, и найдите отрезок $MK$, если $AC = 16$ см.

6.14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника отметили соответственно точ-ки $M$ и $K$ так, что $AM = 3BM$, $CK = 3BK$. Докажите, что $MK \parallel AC$, и найдите отрезок $MK$, если $AC = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно.

По условию задачи имеем два соотношения:

1. $AM = 3BM$. Отсюда можно выразить всю сторону $AB$ через ее часть $BM$: $AB = AM + BM = 3BM + BM = 4BM$.

2. $CK = 3BK$. Аналогично выразим сторону $BC$ через ее часть $BK$: $BC = CK + BK = 3BK + BK = 4BK$.

Теперь найдем отношения сторон треугольников $MBK$ и $ABC$.

Отношение стороны $BM$ к стороне $AB$: $\frac{BM}{AB} = \frac{BM}{4BM} = \frac{1}{4}$.

Отношение стороны $BK$ к стороне $BC$: $\frac{BK}{BC} = \frac{BK}{4BK} = \frac{1}{4}$.

Мы видим, что $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны: $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BMK = \angle BAC$.

Углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ являются соответственными при прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$. Поскольку эти углы равны, то прямые $MK$ и $AC$ параллельны.

Ответ: Доказано, что $MK \parallel AC$.

Так как мы доказали, что $\triangle MBK \sim \triangle ABC$, то отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$.

Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, отношение третьих сторон треугольников также равно коэффициенту подобия:

$\frac{MK}{AC} = k = \frac{1}{4}$.

По условию $AC = 16$ см. Подставим это значение в пропорцию:

$\frac{MK}{16} = \frac{1}{4}$.

Отсюда находим длину отрезка $MK$:

$MK = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ см.

Ответ: $MK = 4$ см.