Номер 6.10, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.10. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

6.10. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $MN$ - его средняя линия, где точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ - серединой стороны $BC$. Прямая, на которой лежит средняя линия $MN$, обозначим как $l$. Нам нужно доказать, что все три вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$) находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

1. Сравним расстояния от вершин $A$ и $B$ до прямой $l$.
Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на прямую $l$. Обозначим их основания как $A_1$ и $B_1$ соответственно. Таким образом, $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$. Длины этих перпендикуляров, $AA_1$ и $BB_1$, и есть искомые расстояния.Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$. В этих треугольниках:

• Гипотенуза $AM$ равна гипотенузе $MB$, так как $M$ – середина стороны $AB$ по определению средней линии.
• Острый угол $\angle AMA_1$ равен острому углу $\angle BMB_1$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $l$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AA_1 = BB_1$.

2. Сравним расстояния от вершин $C$ и $B$ до прямой $l$.
Аналогично, опустим перпендикуляр из точки $C$ на прямую $l$ и обозначим его основание как $C_1$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CNC_1$ и $\triangle BNB_1$ (где $B_1$ - основание перпендикуляра из точки $B$, построенное ранее). В этих треугольниках:

• Гипотенуза $CN$ равна гипотенузе $NB$, так как $N$ – середина стороны $BC$.
• Острый угол $\angle CNC_1$ равен острому углу $\angle BNB_1$, так как они являются вертикальными углами.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle CNC_1$ и $\triangle BNB_1$ также равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что $CC_1 = BB_1$.

Из пунктов 1 и 2 мы получили, что $AA_1 = BB_1$ и $CC_1 = BB_1$. Отсюда следует, что $AA_1 = BB_1 = CC_1$. Это означает, что расстояния от всех трех вершин треугольника до прямой, содержащей его среднюю линию, равны. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано путём доказательства равенства прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами из вершин на прямую средней линии.