Номер 6.8, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.8. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

6.8. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. По условию, $AC = 14$ см и $BD = 8$ см. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Соединив эти точки, мы получим четырёхугольник $KLMN$.

Определение вида четырёхугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KL$ параллельна стороне $AC$ и равна её половине:

$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ является средней линией. Следовательно:

$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим другие стороны. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, поэтому $KN \parallel BD$.

Мы знаем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Поскольку $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, то угол между прямыми $KL$ и $KN$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$. Следовательно, $KL \perp KN$, что означает, что угол $\angle LKN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, — это прямоугольник.

Нахождение сторон четырёхугольника

Стороны прямоугольника $KLMN$ можно найти, используя свойство средней линии треугольника и длины диагоналей ромба.

Как было установлено ранее:

$KL = NM = \frac{1}{2}AC$

$KN = LM = \frac{1}{2}BD$

Подставим известные значения длин диагоналей $AC = 14$ см и $BD = 8$ см:

$KL = NM = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

$KN = LM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Таким образом, стороны полученного прямоугольника равны 7 см и 4 см.

Ответ: стороны четырёхугольника равны 7 см, 4 см, 7 см, 4 см.