Номер 6.1, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.1. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

6.1. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

6.1. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть точки $D$, $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезки $DE$, $EF$ и $DF$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Эти линии разделяют треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника: $\triangle ADF$, $\triangle BDE$, $\triangle CEF$ и $\triangle DEF$.

Для доказательства того, что эти четыре треугольника равны, воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаком равенства треугольников по трем сторонам (SSS). Свойство средней линии гласит, что средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Применительно к нашему треугольнику:

• Средняя линия $DE$ параллельна стороне $AC$ и равна $DE = \frac{1}{2}AC$. Так как $F$ — середина $AC$, то $AF = FC = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, $DE = AF = FC$.
• Средняя линия $EF$ параллельна стороне $AB$ и равна $EF = \frac{1}{2}AB$. Так как $D$ — середина $AB$, то $AD = DB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, $EF = AD = DB$.
• Средняя линия $DF$ параллельна стороне $BC$ и равна $DF = \frac{1}{2}BC$. Так как $E$ — середина $BC$, то $BE = EC = \frac{1}{2}BC$. Следовательно, $DF = BE = EC$.

Теперь сравним стороны всех четырех треугольников, используя выведенные равенства:

1. В $\triangle ADF$ стороны равны: $AD = \frac{1}{2}AB$, $DF = \frac{1}{2}BC$, $AF = \frac{1}{2}AC$.
2. В $\triangle BDE$ стороны равны: $DB = \frac{1}{2}AB$, $BE = \frac{1}{2}BC$, $DE = \frac{1}{2}AC$.
3. В $\triangle CEF$ стороны равны: $CE = \frac{1}{2}BC$, $EF = \frac{1}{2}AB$, $FC = \frac{1}{2}AC$.
4. В $\triangle DEF$ стороны равны: $DE = \frac{1}{2}AC$, $EF = \frac{1}{2}AB$, $DF = \frac{1}{2}BC$.

Как видно, у всех четырех треугольников ($\triangle ADF$, $\triangle BDE$, $\triangle CEF$ и $\triangle DEF$) наборы длин сторон одинаковы: $\{\frac{1}{2}AB, \frac{1}{2}BC, \frac{1}{2}AC\}$.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), все эти четыре треугольника равны (конгруэнтны) между собой: $\triangle ADF \cong \triangle BDE \cong \triangle CEF \cong \triangle DEF$.

Таким образом, мы доказали, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.