Вопросы, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Что называют средней линией треугольника?

2. Сколько средних линий можно провести в треугольнике?

3. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника?

1. Что называют средней линией треугольника?

2. Сколько средних линий можно провести в треугольнике?

3. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Если взять произвольный треугольник, например, $ABC$, и отметить на его сторонах $AB$ и $BC$ точки $M$ и $N$ так, что $AM = MB$ и $BN = NC$, то отрезок $MN$ будет являться средней линией этого треугольника.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

У любого треугольника есть три стороны. Поскольку средняя линия соединяет середины двух сторон, количество средних линий равно количеству возможных пар сторон. Для трех сторон существует ровно три такие пары: первая и вторая, вторая и третья, первая и третья. Следовательно, в любом треугольнике можно провести ровно три средние линии.

Ответ: В треугольнике можно провести три средние линии.

Основные свойства средней линии треугольника описываются соответствующей теоремой. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $MN$, соединяющая середины сторон $AB$ и $BC$. Тогда:

1. Параллельность. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника, то есть той стороне, середины которой она не соединяет. В нашем случае, средняя линия $MN$ будет параллельна стороне $AC$. Это записывается как $MN \parallel AC$.
2. Длина. Длина средней линии равна половине длины третьей стороны. Для нашего примера это означает, что длина отрезка $MN$ в два раза меньше длины стороны $AC$. Это свойство выражается формулой: $MN = \frac{1}{2} AC$.

Из этих свойств также следует, что три средние линии, проведенные в треугольнике, образуют новый, так называемый срединный треугольник. Этот треугольник подобен исходному, а его площадь в четыре раза меньше площади исходного треугольника.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.