Номер 5.52, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.52. В параллелограмме $ABCD$ $\angle ABD = 3\angle DBC$, $BC = 2AB$. Найдите углы параллелограмма.

5.52. В параллелограмме $ABCD$ $\angle ABD = 3\angle DBC$, $BC = 2AB$. Найдите углы параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Обозначим $\angle DBC = \alpha$.

Согласно условию задачи, $\angle ABD = 3\angle DBC$, следовательно, $\angle ABD = 3\alpha$.

Угол $B$ параллелограмма состоит из двух углов: $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 3\alpha + \alpha = 4\alpha$.

Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то $AD \parallel BC$. Прямая $BD$ является секущей. Следовательно, углы $\angle ADB$ и $\angle DBC$ являются накрест лежащими, и они равны:

$\angle ADB = \angle DBC = \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём нам известны два угла, выраженные через $\alpha$: $\angle ABD = 3\alpha$ и $\angle ADB = \alpha$.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: $AD = BC$. Из условия задачи мы знаем, что $BC = 2AB$. Таким образом, получаем соотношение сторон для треугольника $ABD$: $AD = 2AB$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$: отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника.

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$

Подставим в это соотношение известные нам выражения:

$\frac{AB}{\sin(\alpha)} = \frac{2AB}{\sin(3\alpha)}$

Поскольку длина стороны $AB$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $AB$:

$\frac{1}{\sin(\alpha)} = \frac{2}{\sin(3\alpha)}$

Отсюда следует:

$\sin(3\alpha) = 2\sin(\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$.

$3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) = 2\sin(\alpha)$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) = 0$

Вынесем $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin(\alpha)(1 - 4\sin^2(\alpha)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin(\alpha) = 0$. Это решение означает, что $\alpha=0^\circ$ или $\alpha=180^\circ$, что невозможно для угла в треугольнике.
2. $1 - 4\sin^2(\alpha) = 0$. Отсюда $\sin^2(\alpha) = \frac{1}{4}$, и $\sin(\alpha) = \pm\frac{1}{2}$.

Так как $\alpha$ — это угол треугольника, он должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. В этом диапазоне синус угла положителен, поэтому $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Это дает нам два возможных значения для $\alpha$: $30^\circ$ и $150^\circ$.

• Если $\alpha = 150^\circ$, то угол параллелограмма $\angle B = 4\alpha = 4 \cdot 150^\circ = 600^\circ$, что невозможно.
• Если $\alpha = 30^\circ$, то угол параллелограмма $\angle B = 4\alpha = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$. Это допустимое значение.

Итак, мы нашли один из углов параллелограмма. Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому:

$\angle C = \angle A = 60^\circ$

$\angle D = \angle B = 120^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.