Номер 5.53, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.53. Точки M и N — соответственно середины сторон BC и CD прямоугольника ABCD. Отрезки BN и DM пересекаются в точке P. Докажите, что $\angle MAN = \angle BPM$.

5.53. Точки $M$ и $N$ — соответственно середины сторон $BC$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$. Отрезки $BN$ и $DM$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $ \angle MAN = \angle BPM $.

Для доказательства равенства углов воспользуемся методом координат.

Доказательство

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ прямоугольника $ABCD$ совпадала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть длина стороны $AB$ равна $L$, а длина стороны $AD$ равна $W$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут:

$A(0, 0)$, $B(L, 0)$, $C(L, W)$, $D(0, W)$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$. Ее координаты:

$M\left(\frac{L+L}{2}, \frac{0+W}{2}\right) = M\left(L, \frac{W}{2}\right)$.

Точка $N$ — середина стороны $CD$. Ее координаты:

$N\left(\frac{L+0}{2}, \frac{W+W}{2}\right) = N\left(\frac{L}{2}, W\right)$.

Найдем тангенс угла $\angle MAN$. Этот угол образован векторами $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$. Угол, который вектор $\vec{AM}$ образует с положительным направлением оси $Ox$, обозначим $\alpha_M$. Угол, который вектор $\vec{AN}$ образует с положительным направлением оси $Ox$, обозначим $\alpha_N$.

Тангенс угла $\alpha_M$ равен отношению ординаты точки $M$ к ее абсциссе:

$\tan(\alpha_M) = \frac{W/2}{L} = \frac{W}{2L}$.

Тангенс угла $\alpha_N$ равен отношению ординаты точки $N$ к ее абсциссе:

$\tan(\alpha_N) = \frac{W}{L/2} = \frac{2W}{L}$.

Угол $\angle MAN$ равен разности углов $\alpha_N$ и $\alpha_M$. Воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$\tan(\angle MAN) = \tan(\alpha_N - \alpha_M) = \frac{\tan(\alpha_N) - \tan(\alpha_M)}{1 + \tan(\alpha_N)\tan(\alpha_M)}$.

Подставим найденные значения:

$\tan(\angle MAN) = \frac{\frac{2W}{L} - \frac{W}{2L}}{1 + \frac{2W}{L} \cdot \frac{W}{2L}} = \frac{\frac{4W-W}{2L}}{1 + \frac{2W^2}{2L^2}} = \frac{\frac{3W}{2L}}{1 + \frac{W^2}{L^2}} = \frac{\frac{3W}{2L}}{\frac{L^2+W^2}{L^2}} = \frac{3W}{2L} \cdot \frac{L^2}{L^2+W^2} = \frac{3LW}{2(L^2+W^2)}$.

Теперь найдем тангенс угла $\angle BPM$. Этот угол является углом между прямыми $BN$ и $DM$. Найдем угловые коэффициенты (наклоны) этих прямых.

Для прямой $BN$, проходящей через точки $B(L, 0)$ и $N(L/2, W)$:

$k_{BN} = \frac{W-0}{L/2 - L} = \frac{W}{-L/2} = -\frac{2W}{L}$.

Для прямой $DM$, проходящей через точки $D(0, W)$ и $M(L, W/2)$:

$k_{DM} = \frac{W/2 - W}{L - 0} = \frac{-W/2}{L} = -\frac{W}{2L}$.

Воспользуемся формулой для тангенса угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

$\tan(\theta) = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$.

Подставим наши значения:

$\tan(\angle BPM) = \left|\frac{-\frac{W}{2L} - \left(-\frac{2W}{L}\right)}{1 + \left(-\frac{W}{2L}\right)\left(-\frac{2W}{L}\right)}\right| = \left|\frac{-\frac{W}{2L} + \frac{2W}{L}}{1 + \frac{2W^2}{2L^2}}\right| = \left|\frac{\frac{3W}{2L}}{1 + \frac{W^2}{L^2}}\right| = \frac{\frac{3W}{2L}}{\frac{L^2+W^2}{L^2}} = \frac{3LW}{2(L^2+W^2)}$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $\tan(\angle MAN) = \tan(\angle BPM)$.

Так как оба угла находятся внутри геометрической фигуры и их тангенсы положительны, оба угла являются острыми (лежат в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$). Если у двух острых углов тангенсы равны, то и сами углы равны.

Следовательно, $\angle MAN = \angle BPM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MAN = \angle BPM$ доказано.