Номер 5.57, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.57. В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 3AB$. На стороне $AD$ отметили точку $N$ так, что $AN = 2ND$. Докажите, что $\angle ANB + \angle ADB = 45^\circ$.

5.57. В прямоугольнике $ABCD$ $AD = 3AB$. На стороне $AD$ отметили точку $N$ так, что $AN = 2ND$. Докажите, что $\angle ANB + \angle ADB = 45^\circ$.

Пусть сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $x$.

Согласно условию задачи, $AD = 3AB$, следовательно, $AD = 3x$.
Точка $N$ лежит на стороне $AD$, и $AN = 2ND$. Так как $AN + ND = AD$, мы можем записать: $2ND + ND = 3ND = AD$.
Отсюда $3ND = 3x$, что означает $ND = x$.
Тогда $AN = 2ND = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta ABN$ (угол $\angle A = 90^{\circ}$).
В этом треугольнике катеты $AB = x$ и $AN = 2x$.
Тангенс угла $\angle ANB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle ANB) = \frac{AB}{AN} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta ABD$ (угол $\angle A = 90^{\circ}$).
В этом треугольнике катеты $AB = x$ и $AD = 3x$.
Тангенс угла $\angle ADB$ равен:
$\tan(\angle ADB) = \frac{AB}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.

Обозначим $\angle ANB = \alpha$ и $\angle ADB = \beta$. Нам нужно доказать, что $\alpha + \beta = 45^{\circ}$.
Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$.

Подставим найденные значения тангенсов:
$\tan(\angle ANB + \angle ADB) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.

Так как $\tan(\angle ANB + \angle ADB) = 1$, а углы $\angle ANB$ и $\angle ADB$ являются острыми углами в прямоугольных треугольниках (их сумма находится в интервале от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$), то их сумма равна $45^{\circ}$.
Следовательно, $\angle ANB + \angle ADB = 45^{\circ}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма углов $\angle ANB + \angle ADB$ действительно равна $45^{\circ}$.