Номер 5.51, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.51. В квадрате $ABCD$ выбрана точка $M$ так, что треугольник $AMD$ равносторонний. Вне квадрата выбрана точка $K$ так, что треугольник $AKB$ равносторонний. Докажите, что точки $K$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой.

5.51. В квадрате $ABCD$ выбрана точка $M$ так, что треугольник $AMD$ равносторонний. Вне квадрата выбрана точка $K$ так, что треугольник $AKB$ равносторонний. Докажите, что точки $K$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой.

Чтобы доказать, что точки $K$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой, мы докажем, что угол $\angle KMC$ равен $180^\circ$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

Из условия задачи следует, что треугольник $AMD$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны стороне квадрата $AD$, то есть $AM = MD = AD = a$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, поэтому $\angle DAM = \angle AMD = \angle MDA = 60^\circ$.

Аналогично, треугольник $AKB$ является равносторонним. Его стороны равны стороне квадрата $AB$, то есть $AK = KB = AB = a$. Все его углы равны $60^\circ$, поэтому $\angle KAB = \angle ABK = \angle BKA = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MDC$.
Поскольку $MD = a$ (из $\triangle AMD$) и $CD = a$ (сторона квадрата), треугольник $MDC$ является равнобедренным с основанием $MC$.
Найдем угол при вершине $D$. Угол квадрата $\angle ADC = 90^\circ$. Тогда $\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Углы при основании равнобедренного треугольника $MDC$ равны, поэтому $\angle DMC = \angle DCM = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $KAM$.
Поскольку $AM = a$ (из $\triangle AMD$) и $AK = a$ (из $\triangle AKB$), треугольник $KAM$ является равнобедренным с основанием $KM$.
Найдем угол при вершине $A$. Точка $M$ находится внутри квадрата, а точка $K$ — снаружи. Поэтому угол $\angle KAM$ является суммой углов $\angle KAB$ и $\angle BAM$.
Угол $\angle BAM = \angle DAB - \angle DAM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Тогда $\angle KAM = \angle KAB + \angle BAM = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, $\triangle KAM$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при его основании равны: $\angle AMK = \angle AKM = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle KMC$, сложив три угла с общей вершиной $M$: $\angle AMK$, $\angle AMD$ и $\angle DMC$.
$\angle KMC = \angle AMK + \angle AMD + \angle DMC$
Подставляя найденные значения углов, получаем:
$\angle KMC = 45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.

Так как угол $\angle KMC$ равен $180^\circ$, это означает, что точки $K$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать. Точки $K$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой, так как угол $\angle KMC$ является развернутым и равен $180^\circ$.